reella.tex

\chapter{De reella talen}%
\label{ch:Reella}%\nocite{Kline1990mtf3,KTHCirkel2005rt}
% XXX Skriv om de reella talens konstruktion
[Ej ännu färdigskrivet.]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% DEDEKINDS SNITT
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{Dedekinds snitt}
%% XXX Skriv om Dedekinds snitt
%\dots
%
%\begin{definition}[Snitt]
%  % XXX Definiera Dedekinds snitt
%  \dots
%\end{definition}
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% ARITMETIK
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{Aritmetik}
%% XXX Skriv om aritmetik med de reella talen
%\dots
%
%\begin{definition}[Algebraiska egenskaper hos de reella talen]
%  På mängden \(\R\) definieras två binära operatorer, addition (\(+\)) och
%  multiplikation (\(\cdot\)).
%  För addition gäller följande:
%  \begin{description}
%    \item[Kommutativitet] \(a+b=b+a\) för alla \(a,b\in\R\).
%    \item[Associtivitet] \((a+b)+c=a+(b+c)\) för alla \(a,b,c\in\R\).
%    \item[Additiv enhet] Det finns ett element \(0\in\R\) sådant att
%      för alla \(a\in\R\) gäller att \(0+a = a+0 = a\).
%    \item[Additiv invers] För alla \(a\in\R\) finns ett element \(-a\in\R\)
%      sådant att \(a + (-a) = (-a) + a = 0\).
%  \end{description}
%  För multiplikation gäller följande:
%  \begin{description}
%    \item[Kommutativitet] \(a \cdot b=b \cdot a\) för alla \(a,b\in\R\).
%    \item[Associtivitet] \((a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)\) för
%      alla \(a,b,c\in\R\).
%    \item[Multiplikativ enhet] Det finns ett element \(1\in\R\) sådant att
%      för alla \(a\in\R\) gäller att \(1 \cdot a = a \cdot 1 = a\).
%    \item[Multiplikativ invers] För alla \(0 \neq a\in\R\) finns ett
%      element \(1/a\in\R\) sådant att
%      \(a \cdot (1/a) = (1/a) \cdot a = 1\).
%  \end{description}
%  Utöver detta gäller även
%  \begin{description}
%    \item[Multiplikativ distribuitet över addition]
%      \(a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)\) och
%      \((b+c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)\) för alla reella tal
%      \(a,b,c\in\R\).
%  \end{description}
%\end{definition}
%
%\begin{exercise}
%  Utforska vad de algebraiska egenskaperna hos de reella talen tillåter.
%\end{exercise}
%\begin{exercise}
%  Om \(x\in\R\) och \(a\in\R\) båda är reella tal och \(x + a = a\),
%  visa att \(x=0\).
%\end{exercise}
%\begin{exercise}
%  Om \(x\in\R\) och \(a\in\R\) båda är reella tal och \(a \cdot x = a\),
%  visa att \(x=1\).
%\end{exercise}
%\begin{exercise}
%  Om \(a\in\R\) är ett reellt tal, visa att \(a \cdot 0 = 0\).
%\end{exercise}
%\begin{exercise}
%  Om \(0 \neq a \in \R\) och \(b\in\R\) är reella tal och \(a \cdot b = 1\),
%  visa att \(b = 1/a\).
%\end{exercise}
%\begin{exercise}
%  Om \(a\in\R\) och \(b\in\R\) är reella tal och \(a \cdot b = 0\),
%  visa att antingen \(a=0\) eller \(b=0\), eller båda.
%\end{exercise}
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% POTENSER
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\subsection{Potenser}
%% XXX Skriv om potenser med de reella talen
%\dots
%