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困难
2225
第 71 场双周赛 Q4
数组
动态规划
堆（优先队列）

2163. 删除元素后和的最小差值

English Version

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，它包含 3 * n 个元素。

你可以从 nums 中删除 恰好 n 个元素，剩下的 2 * n 个元素将会被分成两个 相同大小 的部分。

  • 前面 n 个元素属于第一部分，它们的和记为 sumfirst 。
  • 后面 n 个元素属于第二部分，它们的和记为 sumsecond 。

两部分和的 差值 记为 sumfirst - sumsecond 。

  • 比方说，sumfirst = 3 且 sumsecond = 2 ，它们的差值为 1 。
  • 再比方，sumfirst = 2 且 sumsecond = 3 ，它们的差值为 -1 。

请你返回删除 n 个元素之后，剩下两部分和的 差值的最小值 是多少。

 

示例 1：

输入：nums = [3,1,2]
输出：-1
解释：nums 有 3 个元素，所以 n = 1 。
所以我们需要从 nums 中删除 1 个元素，并将剩下的元素分成两部分。
- 如果我们删除 nums[0] = 3 ，数组变为 [1,2] 。两部分和的差值为 1 - 2 = -1 。
- 如果我们删除 nums[1] = 1 ，数组变为 [3,2] 。两部分和的差值为 3 - 2 = 1 。
- 如果我们删除 nums[2] = 2 ，数组变为 [3,1] 。两部分和的差值为 3 - 1 = 2 。
两部分和的最小差值为 min(-1,1,2) = -1 。

示例 2：

输入：nums = [7,9,5,8,1,3]
输出：1
解释：n = 2 。所以我们需要删除 2 个元素，并将剩下元素分为 2 部分。
如果我们删除元素 nums[2] = 5 和 nums[3] = 8 ，剩下元素为 [7,9,1,3] 。和的差值为 (7+9) - (1+3) = 12 。
为了得到最小差值，我们应该删除 nums[1] = 9 和 nums[4] = 1 ，剩下的元素为 [7,5,8,3] 。和的差值为 (7+5) - (8+3) = 1 。
观察可知，最优答案为 1 。

 

提示：

  • nums.length == 3 * n
  • 1 <= n <= 105
  • 1 <= nums[i] <= 105

解法

方法一：优先队列（大小根堆）+ 前后缀和 + 枚举分割点

题目实际上等价于在 $nums$ 中找到一个分割点，将数组分成左右两部分，在前一部分中选取最小的 $n$ 个元素，在后一部分中选取最大的 $n$ 个元素，使得两部分和的差值最小。

我们可以用一个大根堆维护前缀中最小的 $n$ 个元素，用一个小根堆维护后缀中最大的 $n$ 个元素。我们定义 $pre[i]$ 表示在数组 $nums$ 的前 $i$ 个元素中选择最小的 $n$ 个元素的和，定义 $suf[i]$ 表示从数组第 $i$ 个元素到最后一个元素中选择最大的 $n$ 个元素的和。在维护大小根堆的过程中，更新 $pre[i]$ 和 $suf[i]$ 的值。

最后，我们在 $i \in [n, 2n]$ 的范围内枚举分割点，计算 $pre[i] - suf[i + 1]$ 的值，取最小值即可。

时间复杂度 $O(n \times \log n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组 $nums$ 的长度。

Python3

class Solution:
    def minimumDifference(self, nums: List[int]) -> int:
        m = len(nums)
        n = m // 3

        s = 0
        pre = [0] * (m + 1)
        q1 = []
        for i, x in enumerate(nums[: n * 2], 1):
            s += x
            heappush(q1, -x)
            if len(q1) > n:
                s -= -heappop(q1)
            pre[i] = s

        s = 0
        suf = [0] * (m + 1)
        q2 = []
        for i in range(m, n, -1):
            x = nums[i - 1]
            s += x
            heappush(q2, x)
            if len(q2) > n:
                s -= heappop(q2)
            suf[i] = s

        return min(pre[i] - suf[i + 1] for i in range(n, n * 2 + 1))

Java

class Solution {
    public long minimumDifference(int[] nums) {
        int m = nums.length;
        int n = m / 3;
        long s = 0;
        long[] pre = new long[m + 1];
        PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
        for (int i = 1; i <= n * 2; ++i) {
            int x = nums[i - 1];
            s += x;
            pq.offer(x);
            if (pq.size() > n) {
                s -= pq.poll();
            }
            pre[i] = s;
        }
        s = 0;
        long[] suf = new long[m + 1];
        pq = new PriorityQueue<>();
        for (int i = m; i > n; --i) {
            int x = nums[i - 1];
            s += x;
            pq.offer(x);
            if (pq.size() > n) {
                s -= pq.poll();
            }
            suf[i] = s;
        }
        long ans = 1L << 60;
        for (int i = n; i <= n * 2; ++i) {
            ans = Math.min(ans, pre[i] - suf[i + 1]);
        }
        return ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    long long minimumDifference(vector<int>& nums) {
        int m = nums.size();
        int n = m / 3;

        using ll = long long;
        ll s = 0;
        ll pre[m + 1];
        priority_queue<int> q1;
        for (int i = 1; i <= n * 2; ++i) {
            int x = nums[i - 1];
            s += x;
            q1.push(x);
            if (q1.size() > n) {
                s -= q1.top();
                q1.pop();
            }
            pre[i] = s;
        }
        s = 0;
        ll suf[m + 1];
        priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q2;
        for (int i = m; i > n; --i) {
            int x = nums[i - 1];
            s += x;
            q2.push(x);
            if (q2.size() > n) {
                s -= q2.top();
                q2.pop();
            }
            suf[i] = s;
        }
        ll ans = 1e18;
        for (int i = n; i <= n * 2; ++i) {
            ans = min(ans, pre[i] - suf[i + 1]);
        }
        return ans;
    }
};

Go

func minimumDifference(nums []int) int64 {
	m := len(nums)
	n := m / 3
	s := 0
	pre := make([]int, m+1)
	q1 := hp{}
	for i := 1; i <= n*2; i++ {
		x := nums[i-1]
		s += x
		heap.Push(&q1, -x)
		if q1.Len() > n {
			s -= -heap.Pop(&q1).(int)
		}
		pre[i] = s
	}
	s = 0
	suf := make([]int, m+1)
	q2 := hp{}
	for i := m; i > n; i-- {
		x := nums[i-1]
		s += x
		heap.Push(&q2, x)
		if q2.Len() > n {
			s -= heap.Pop(&q2).(int)
		}
		suf[i] = s
	}
	ans := int64(1e18)
	for i := n; i <= n*2; i++ {
		ans = min(ans, int64(pre[i]-suf[i+1]))
	}
	return ans
}

type hp struct{ sort.IntSlice }

func (h hp) Less(i, j int) bool { return h.IntSlice[i] < h.IntSlice[j] }
func (h *hp) Push(v any)        { h.IntSlice = append(h.IntSlice, v.(int)) }
func (h *hp) Pop() any {
	a := h.IntSlice
	v := a[len(a)-1]
	h.IntSlice = a[:len(a)-1]
	return v
}

TypeScript

function minimumDifference(nums: number[]): number {
    const m = nums.length;
    const n = Math.floor(m / 3);
    let s = 0;
    const pre: number[] = Array(m + 1);
    const q1 = new MaxPriorityQueue();
    for (let i = 1; i <= n * 2; ++i) {
        const x = nums[i - 1];
        s += x;
        q1.enqueue(x, x);
        if (q1.size() > n) {
            s -= q1.dequeue().element;
        }
        pre[i] = s;
    }
    s = 0;
    const suf: number[] = Array(m + 1);
    const q2 = new MinPriorityQueue();
    for (let i = m; i > n; --i) {
        const x = nums[i - 1];
        s += x;
        q2.enqueue(x, x);
        if (q2.size() > n) {
            s -= q2.dequeue().element;
        }
        suf[i] = s;
    }
    let ans = Number.MAX_SAFE_INTEGER;
    for (let i = n; i <= n * 2; ++i) {
        ans = Math.min(ans, pre[i] - suf[i + 1]);
    }
    return ans;
}