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Definizione

Formula

\[ X(z) = ∑_n=-∞^∞ x[n] z^-n \] con $z$ variabile complessa

Rapporto con Fourier

prendiamo la definizione di trasformata z e la definizione di Fourier per sequenze

\begin{align*} &X(z) = ∑_n=-∞^∞ x[n] z^-n
&\overline{X}(F) = ∑_n=-∞^∞ x[n] e^{-j2π Fn} \ \end{align*}

le due formule sono abbastanza simili, entrambe hanno $∑ x[n]\ qualcosa^-n$, nel caso di Fourier questo qualcosa = $e^{j2π F}$, nel caso della z questo può essere qualsiasi cosa, vediamo allora il caso particolare in cui z ha la forma $e^{j2π F}$.

\begin{align*} &X(z) \rvert _{z = e^{j2π F}}
= &(∑_n=-∞^∞ x[n] z^-n)\rvert _{z = e^{j2π F}} \ = & ∑_n=-∞^∞ x[n] (e^{j2π F})^-n \ = & ∑_n=-∞^∞ x[n] e^{-j2π Fn} \ = & \overline{X}(F) \end{align*}

quindi $X(z) \rvert _{z = e^{j2π F}}$ = $\overline{X}(F)$, vale a dire, la trasformata z equivale alla trasformata di Fourier per sequenze nei punti della forma $z = e^{j2π F}$, se lo riscriviamo come $z = 1 × e^{j2π F}$ si può notare un po’ meglio che questa è una forma generica per indicare punti con modulo 1 e fase arbitraria, in umanese vuol dire che è un punto sul cerchio unitario. (se $F$ arbitrario $∈ (-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ allora $2π F$ arbitrario $∈ (-π$ e $π$))

Esempii

Sequenza finita

Monolatera destra

si prenda la sequenza \[ x[n] = 2^n u[n] \] allora \begin{align*} & X(z) = ∑_n=-∞^∞ x[n] z^-n
& X(z) = ∑_n=-∞^∞ x[n] = 2^n u[n] z^-n \ \end{align*}

per il gradino \begin{align*} & X(z) = ∑_n=0^∞ x[n] = 2^n z^-n
& X(z) = ∑_n=0^∞ x[n] = (2z^-1)^-1 \ \end{align*}

essendo questa diventata una serie geometrica, si ricordi intanto che \[ f(q) = ∑_n=0^∞ q^n ⇒ f(q) = \begin{cases} \frac{1}{1-q} & \text{se } \lvert q \rvert < 0
\text{non converge} & \text{se } \lvert q \rvert \geq 0 \end{cases} \]

Monolatera sinistra

Importanza della RoC

Teoremi

Linearità

Ritardo

Inversione temporale

Derivazione in z

L’ipotesi è che

\begin{align*} &x[n] \iff X(z)
&n x[n] \iff -z \frac{dX(z)}{dz} \end{align*}

la dimostrazione è che se \[ X(z) = ∑_n=-∞^∞ x[n] z^-n \]

allora facendo la derivata a entrabmi i lati ottieni \[ \frac{dX(z)}{dz} = \frac{d}{dz}(∑_n=-∞^∞ x[n] z^-n) \]

sia la derivata che la sommatoria sono lineari, quindi puoi fare \[ \frac{dX(z)}{dz} = ∑_n=-∞^∞ \frac{d}{dz}(x[n] z^-n) \]

$x[n]$ non dipende da $z$, quindi si porta fuori dalla derivata e \begin{align*} &\frac{dX(z)}{dz} = ∑_n=-∞^∞ \frac{d}{dz}(x[n] z^-n)=
&\frac{dX(z)}{dz} = ∑_n=-∞^∞ x[n] \frac{dz^-n}{dz}= \ &\frac{dX(z)}{dz} = ∑_n=-∞^∞ x[n] -n z^-n-1= \ &\frac{dX(z)}{dz} = ∑_n=-∞^∞ x[n] -n z^-n z^-1 \end{align*}

$z^-1$ non dipende da n quindi lo portiamo fuori insieme al segno $-$ del $-n$ introdotto dalla derivazione

\begin{align*} &\frac{dX(z)}{dz} = -z^-1 ∑_n=-∞^∞ x[n] n z^-n
&-z \frac{dX(z)}{dz} = ∑_n=-∞^∞ x[n] n z^-n \ \end{align*}

si nota [fn::come se qualcuno andasse effettivamente a cercarsi ste cose] che la parte destra dell’equazione corrisponde a $\mathcal{Z}\{n x[n]\}$, da ciò si ottiene la tesi.

\[ \mathcal{Z}\{n x[n]\} = -z \frac{dX(z)}{dz} \]

Convoluzione