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串

1. 定义

串，即字符串（String）是由零个或者多个字符组成的有序序列。一般记为：

$$ S='a_{1}a_{2}...a_{n}'（n>0） $$

  • $S$ 为串名。单引号（或双引号）括起来的字符序列是串的值。
  • $a_{1}$ 可以是字母、数字或其他字符。
  • 串中字符的个数 $n$ 为串的长度。
  • $n=0$ 时的串称为空串（用 $\emptyset$ 表示）。

1.1. 相关概念

  • 子串：串中人一个连续的字符组成的子序列。
  • 主串：包含子串的串。
  • 字符在主串中的位置：字符在串中的序号。
  • 子串在主串中的位置：子串的第一个字符在主串中的位置。

位置/位序从 1 开始，而不是从 0 开始。

1.2. 空串 V.S 空格串

M=""
N="   "

1.3. 串 V.S 线性表

串是一种特殊的线性表，数据元素之间呈线性关系。

串的数据对象限定为字符集，如：中文字符、英文字符、数字字符、标点字符等。

串的基本操作，如增删改查等通常以子串为操作对象。

2. 基本操作

  • StrAssign(&T, chars)：赋值操作。把串 $T$ 赋值为 $chars$。
  • StrCopy(&T, S)：复制操作。由 $S$ 复制得到串 $T$。
  • StrEmpty(S)：判空操作。若 $S$ 为空串，则返回 true，否则返回 false。
  • StrLength(S)：求串长。返回串 $S$ 的元素个数。
  • ClearString(&S)：清空操作。将串 $S$ 清为空串。
  • DestroyString(&S)：销毁串。将串 $S$ 销毁（回收存储空间）。
  • Concat(&T, S1, S2)：串连接。用 $T$ 返回由 $S1$ 和 $S2$ 连接而成的新串。
  • SubString(&Sub, S, pos, len)：求子串。用 $Sub$ 返回串 $S$ 的第 $pos$ 个字符起长度为 $len$ 的字符串。
  • Index(S, T)：定位操作。若主串 $S$ 中存在与串 $T$ 值相同的子串，则返回它在主串 $S$ 中第一次出现的位置，否则返回函数值 0。
  • StrCompare(S, T)：比较操作。若 $S>T$，则返回值 $>0$；若 $S=T$，则返回值 $=0$；若 $S<T$，则返回值 $<0$。

2.1. 编码

ASCII 编码

任何数据存到计算机中一定是二进制数。

需要确定一个字符和二进制数的对应规则，这就是“编码”。

2.2. 字符集

  • 英文字符：ASCII 字符集
  • 中英文：Unicode 字符集

基于同一个字符集，可可以有多种编码方案，如：UTF-8，UTF-16。

采用不同的编码方式，每个字符所占空间空间不同，考验中只需要默认每个字符占 1B 即可。

2.3. 乱码问题

在你的文件中，原本采用某一套编码规则 $y=f(x)$。

打开文件时，你的软件以为你采用的是另一套编码规则 $y=g(x)$。

3. 串的存储结构

3.1. 顺序存储

3.1.1. 静态数组实现（定长顺序存储）

#define MAXLEN 255
typedef struct
{
    char ch[MAXLEN];
    int length;
} SString;

3.1.2. 动态数组实现（堆分配存储）

#define MAXLEN 255
typedef struct
{
    char *ch;
    int length;
} HString;
HString S;
S.ch = (char *)malloc(MAXLEN * sizeof(char));
S.length = 0;

3.1.3. 顺序存储的实现

顺序存储实现

3.2. 链式存储

typedef struct StringNode
{
    char ch;
    struct StringNode *next;
} StringNode, *String;
typedef struct StringNode
{
    char ch[4];
    struct StringNode *next;
} StringNode, *String;

4. 基本操作的实现

4.1. 求子串

// 求子串
bool SubString(SString &Sub, SString S, int pos, int len)
{
    // 子串范围越界
    if (pos + len - 1 > S.length)
    {
        return false;
    }
    for (int i = pos; i < pos + len; i++)
    {
        Sub.ch[i - pos + 1] = S.ch[i];
    }
    Sub.length = len;
    return true;
}

4.2. 串的比较

// 比较操作
int StrCompare(SString S, SString T)
{
    for (int i = 1; i <= S.length && i <= T.length; i++)
    {
        if (S.ch[i] != T.ch[i])
        {
            return S.ch[i] - T.ch[i];
        }
    }
    // 扫描过所有字符都相同，则长度长的串更大
    return S.length - T.length;
}

4.3. 求串在主串中的位置

// 定位操作
int Index(SString S, SString T)
{
    int i = 1, n = StrLength(S), m = StrLength(T);
    SString sub;
    while (i <= n - m + 1)
    {
        SubString(sub, S, i, m);
        if (StrCompare(sub, T) != 0)
        {
            ++i;
        }
        else
        {
            return i;
        }
    }
    return 0;
}

5. 朴素模式匹配算法性能分析

// 定位操作
int Index2(SString S, SString T)
{
    int k = 1; // 记录主串中的匹配开始位置
    int i = k, j = 1;
    while (i <= S.length && j <= T.length)
    {
        if (S.ch[i] == T.ch[j])
        {
            ++i;
            ++j;
        }
        else
        {
            k++;
            i = k;
            j = 1;
        }
    }
    if (j > T.length)
    {
        return k;
    }
    else
    {
        return 0;
    }
}

若模式串长度为 $m$，主串长度为 $n$，则：

  • 匹配成功的最好时间复杂度：$O(m)$。
  • 匹配失败的最好时间复杂度：$O(n-m-1)=O(n-m) \approx O(n)$。

若模式串长度为 $m$，主串长度为 $n$，则知道匹配成功/匹配失败最多需要 $(n-m+1)*m$ 次比较。

  • 最坏时间复杂度：$O(nm)$。

6. KMP 算法

6.1. 改进思路

朴素模式匹配算法的缺点：当某些子串与模式串能部分匹配时，主串的扫描指针 $i$ 经常回溯，导致时间开销增加。

改进思路：主串指针 $i$ 不回溯，只有模式串指针 $j$ 回溯。

主串为 googlgooglegooglo，模式串为 google。如果 $j=k$ 时才发现匹配失败，说明 $1 \sim k-1$ 都匹配成功。

  • 若当前两个字符匹配，则 i++，j++。
  • 若 $j=1$ 时发生不匹配，则应让 i++，而 $j$ 依然是 $1$。
  • 若 $j=2$ 时发生不匹配，则应让 $j$ 回到 $1$。
  • 若 $j=3$ 时发生不匹配，则应让 $j$ 回到 $1$。
  • 若 $j=4$ 时发生不匹配，则应让 $j$ 回到 $1$。
  • 若 $j=5$ 时发生不匹配，则应让 $j$ 回到 $2$。
  • 若 $j=6$ 时发生不匹配，则应让 $j$ 回到 $1$。
int next[7];
0 1 2 3 4 5 6
0 1 1 1 2 1

当 $j=k$ 且发现字符不匹配时，令 j=next[k];

// KMP 算法
int Index_KMP(SString S, SString T, int next[])
{
    int i = 1, j = 1;
    while (i <= S.length && j <= T.length)
    {
        if (j == 0 || S.ch[i] == T.ch[j])
        {
            ++i;
            ++j;
        }
        else
        {
            j = next[j];
        }
    }
    if (j > T.length)
    {
        return i - T.length;
    }
    else
    {
        return 0;
    }
}

6.2. next 数组

next 数组：当模式串的第 $j$ 个字符匹配失败时，令模式串跳到 $next[j]$ 再继续匹配。

'abcabd'
0 1 2 3 4 5 6
3 
'abababcdef'
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 
'aaaabcd'
0 1 2 3 4 5 6 7
4 
'abcdefg'
0 1 2 3 4 5 6 7
0

$$ next[1]=0 $$

  • 串的前缀：包含第一个字符，且不包含最后一个字符的字符串。
  • 串的后缀：包含最后一个字符，且不包含第一个字符的字符串。

当第 $j$ 个字符匹配失败，由前 $i \sim j-1$ 个字符组成的串记为 $S$，则：

$$ next[j]=S的在最长相等前后缀长度+1 $$

特别地：

$$ next[1]=0,next[2]=1 $$

'ababaa'
0 1 2 3 4 5 6
0 1 1 2 3 4 
'aaaab'
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 
// 求模式串 T 的 next 数组
void get_next(SString T, int next[])
{
    int i = 1, j = 0;
    next[1] = 0;
    while (i < T.length)
    {
        if (j == 0 || T.ch[i] == T.ch[j])
        {
            ++i;
            ++j;
            // 若 pi=pj，则 next[j+1]=next[j]+1
            next[i] = j;
        }
        else
        {
            // 否则令 j=next[j]，循环继续
            j = next[j];
        }
    }
}
// KMP 算法
int Index_KMP(SString S, SString T)
{
    int i = 1, j = 1;
    int next[T.length + 1];
    get_next(T, next); // 时间复杂度：$O(m)$
    while (i <= S.length && j <= T.length) // 时间复杂度：$O(n)$
    {
        if (j == 0 || S.ch[i] == T.ch[j])
        {
            ++i;
            ++j;
        }
        else
        {
            j = next[j];
        }
    }
    if (j > T.length)
    {
        return i - T.length;
    }
    else
    {
        return 0;
    }
}

KMP 算法平均时间复杂度：$O(n+m)$

6.3. KMP 算法优化

'google'
序号 $j$ 1 2 3 4 5 6
模式串 g o o g l e
$next[j]$ 0 1 1 1 2 1
$nextval[j]$ 0 1 1 0 2 1 
'aaaab'
序号 $j$ 1 2 3 4 5
模式串 a a a a b
$next[j]$ 0 1 2 3 4
$nextval[j]$ 0 0 0 0 4

nextval 数组的求法：

  1. 先算出 next 数组。
  2. 先令 $nextval[1]=0$
  3. 循环查找
for (int j = 2; j <= T.length; j++)
{
    if (T.ch[next[j]] == T.ch[j])
    {
        nextval[j] = nextval[next[j]];
    }
    else
    {
        nextval[j] = next[j];
    }
}

KMP 算法优化：当子串和模式串不匹配时，

$$ j = nextval[j]; $$