Problem 21
在例3.7.2中，设$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(82,72,45,34,17)$，选取适当的预热期和模拟，编写R程序计算$\beta$的后验均值估计。从不同初值出发多做几次考察估计的误差大小。
Problem 25
对例3.7.5，取$n=20$，$\alpha=\beta=0.5$，生成$(X,Y)$的Gibbs抽样链，比较$Y$的样本的直方图和$\text{Beta}(\alpha,\beta)$分布密度。
Problem 28
在调相通信中，考虑如下的状态空间模型 $$ X_t=\phi_1X_{t-1}+\eta_t,\eta_t\sim N(0,\sigma_{\eta}^2),t=1,2,\cdots,n,\qquad(*)\ y_t=A\cos(ft+X_t)+\varepsilon_t,\eta_t\sim N(0,\sigma_{\varepsilon}^2),t=1,2,\cdots,n, $$ 其中$\phi_1=0.6$，$\sigma_{\eta}^2=1/6$，$A=320$，$f=1.072\times 10^7$，$\sigma_{\varepsilon}^2=1$，${y_1,\cdots,y_n}$为观测值，${X_1,\cdots,X_n}$为不可观测的随机变量。
（1）设$X_0=0$，$n=128$，模拟生成$(X_t,y_t)$，$t=1,2,\cdots,n$；
（2）根据$\textsection 3.8.1$设计SIS算法产生关于已知$y_1,\cdots,y_n$条件下$X_1,\cdots,X_n$的条件分布的适当加权样本，共生成$N=10000$组，试抽样采用从$(*)$向前一步的方法；
（3）考察以上得到的权重${W_i}$的分布情况；
（4）在SIS抽样的每一步进行剩余再抽样；
（5）根据后验均值方法利用上述改进的抽样估计$(X_1,\cdots,X_n)$；
（6）对每个$X_t$，计算上述后验估计的标准误差；
（7）独立地重复$M=400$次估计过程，从$M$次不同的后验估计计算新的估计标准误差，与（6）得到的结果进行比较。