aula2.tex

\documentclass{beamer}
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\title[Retas e Planos]{Retas e Planos em $V_3$}
\author{MAP 2110 - Diurno}
\institute{IME USP}
\date{31 de março}

\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

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%\begin{frame}{Outline}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

\section {Exercícios}

\begin{frame}{Exercícios}
 
 Faremos uma seleção de exercícios do Apostol

\end{frame}

\section{Alguns Exercícios}

\subsection{Exercícios do Apostol}

\begin{frame}{Exercicio 1:}
Uma reta $L$ em $V_2$ contém os pontos $P=(-3,1)$ e $Q=(1,1),$ quais dos seguintes pontos também estão em $L$
\begin{itemize}
   \item[A]$(0,0)$
   \item[B]$(0,1)$
   \item[C]$(1,2)$
   \item[D]$(2,1)$
   \item[E]$(-2,1)$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Solução}
  Um vetor paralelo a $L$ é $\vec{u}=Q-P=(4,0)$.
  A equação vetorial da reta 
  $$L=(1,1)+t(4,0)= \{(1+4t,1)\}$$
  $B$ $D$ e $E$ satisfazem a condição.
\end{frame}


\subsection{Exercicio 2}

\begin{frame}{Exercicio 2}

Verifique em cada um dos casos se os três pontos estão numa mesma reta:
\begin{itemize}
    \item $P=(2,1,1)$ $Q=(4,1,-1)$ e $R=(3,-1,1)$
    \item $P=(2,2,3)$ $Q=(-2,3,1)$ e $R=(-6,4,1)$
    \item $P=(2,1,1)$ $Q=(-2,3,1)$ e $R=(5,-1,1)$
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{solução}
  Devemos, em cada caso verificar se os vetores $R-P$ e $Q-P$ são paralelos.
  \begin{itemize}
    \item $R-P =(1,-2,0)$ e $R-Q=(-1,-2,2)$ não são.
    \item $R-P =(-8,2,-2)$ e $R-Q=(-4,1,0)$ não são.
    \item $R-P =(3,-2,0)$ e $R-Q=(7,-4,0)$ não são.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Exercício 3}
   Uma reta $L_1$ passa pelo ponto $P=(1,1,1)$ e é paralela ao vetor $A=(1,2,3).$ Uma outra $L_2$ passa pelo ponto $Q=(2,1,0)$ e é paralela ao vetor $B=(3,8,13).$  Mostre que as duas retas se interceptam e determine o ponto de intersecção.
\end{frame}

\begin{frame}{Solução}
  \begin{gather*}
    L1: (1,1,1) + s(1,2,3) \\
    L2: (2,1,0) + t(3,8,13)
  \end{gather*}
$$(1,1,1) + s(1,2,3)= (2,1,0) + t(3,8,13)$$
  Resolvendo o sistema temos 
  $t=1$ e $s=4$
  $(5,9,13)$ é o ponto de intersecção.

\end{frame}

\begin{frame}{Exercício 4}
Seja $X(t) = P + tA$ um ponto genérico da reta $L(P,A)$ onde $P=(1,2,3)$ e $A=(1,-2,2).$ Tomemos o ponto $Q=(3,3,1)$
\begin{itemize}
    \item Calcule $\| X(t) - Q \|^2$
    \item Mostre que existe um único ponto $X(t_0)$ que minimiza $\| X(t) - Q \|^2$
    \item Mostre que $Q-X(t_0)$ é ortogonal a $A$
\end{itemize}
    \end{frame}

    \begin{frame}{solução}
     \begin{gather*}
       X(t) = (1,2,3)+t(1,-2,2) \\
       Q=(3,3,1)\\
       X(t)-Q =(-2+t,-1-2t,2+2t)\\
       \|X(t)-Q\|^2 = (-2+t)^2 + (-1-2t)^2+(2+2t)^2\\
       \|X(t)-Q\|^2 = 9t^2 + 8t +9
     \end{gather*} 
     que tem um único ponto de mínimo em $t_0=-\frac{4}{9}$
    \end{frame}
    \begin{frame}{solução item 3}
      Fazendo $t_0=-4/9$ temos
      $$X(t_0)-Q = (\frac{-22}{9}, \frac{-1}{9},\frac{10}{9})$$
      que é ortogonal a $(1,-2,2)$
    \end{frame}
   
    \begin{frame}{Equação do Plano}
      Dada a equação vetorial de um plano $M =\{P+sA+tB\}$
      com $P=(1,2,-3)$ e $A=(3,2,1)$ $B=(1,0,4)$.
      Verificar se o ponto $(1,2,0)\in M$
      
    \end{frame}
    \begin{frame}{Solução}
      \begin{gather*}
        X=(1,2,0) \text{ e }X-P=(0,0,3) \\
        (0,0,3)= t(3,2,1) + s(1,0,4) ? \\
        3t + s =0 \\
        2t + 0 =0 \\
        t + 4s =4
      \end{gather*}
      sistema impossível!

       \end{frame}
\begin{frame}
  Achar a equação cartesiana de $M$ quando este é um plano  
  que passa por $(2,3,1)$ gerado por $(3,2,1)$ e $(-1,-2,-3)$.

\end{frame}
\begin{frame}{solução} 
  $M=\{ (2,3,1)+s(3,2,1)+t(-1,-2,-3)\}$ Então um ponto genérico
   $(x,y,z)$ de $M$ satisfaz
  \begin{gather*}
    x-2 = 3s-t \\
    y-3 = 2s -2t \\
    z-1 = s-3t
  \end{gather*}
  Usando as duas últimas equações resolvemos o sistema 
  para $s$ e $t$ -7/4
  $t=1/4(y-2z-1)$ e $s=3/4y -z/2.$ Substituo na primeira equação.
  $$x-2y+z=3$$

\end{frame}

\end{document}