map2110-l1.tex

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\newcommand{\quest}{\stepcounter{questao}{\bf \arabic{questao}.\ }}

\begin{document}
\hrule
 {  \sf  Lista de Exercícios- Permutações  \hfill \fbox{L1-2016}}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\thispagestyle{empty}
\fontsize{14}{16}\selectfont

\quest  Dadas as seguintes permutações:
\begin{gather*}
  \sigma =\begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
    2 & 1 & 4 & 5 & 3
  \end{pmatrix} \text{ e } \tau =\begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
    3 & 5 & 4 & 1 & 2
  \end{pmatrix}
\end{gather*}
Calcular $\sigma\circ\tau,$ $\tau\circ\sigma$, $\sigma^{-1},$ $\tau^{-1},$ $\sigma^{109}\circ\tau^{60}.$

\vspace{0.3cm}

\quest  Mostre que para todo $\sigma,$ permutação de $\mathbb{S}_n,$ existe um número inteiro $n>0$ tal que $\sigma^n= \text{id}$.
\vspace{0.3cm}

\quest Quantos são os ciclos de ordem $p$ em $\mathbb{S}_n?$

\vspace{0.3cm}

\quest Vamos chamar de suporte de uma permutação $\sigma$ de $\mathbb{S}_n$ o conjunto complementar dos pontos fixos em $E_n$.
Mostre que se duas permutações têm suporte disjuntos então elas comutam.

\vspace{0.3cm}

\quest Escrever as permutações:
\begin{gather*}
  \sigma =\begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
    2 & 1 & 4 & 6 & 3 & 5
  \end{pmatrix} \text{ e } \tau =\begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
    3 & 5 & 4 & 1 & 2 & 6
  \end{pmatrix}
\end{gather*}
Como composição de ciclos disjuntos.

\quest Verificar se as permutações acima são pares ou ímpares e dê uma decomposição em produto de tansposição de cada uma delas.

\quest A matriz de representação de uma permutação $\sigma \in \mathbb{S}_n$ é a matriz quadrada $n\times n$ dada por $M(\sigma)=(s_{ij})$ onde
\begin{gather*}
  s_{ij}=\left\{
    \begin{array}[h]{cc}
      1 & \text{ se } \sigma{j}=i \\
      0 & \text{ nos outros casos.}
    \end{array}\right.
\end{gather*}
Mostre que vale $M(\sigma).M(\tau) = M(\sigma\circ\tau)$.

\quest Mostre que se $\sigma \in \mathbb{S}_n$ e $\pi \in \mathbb{S}_n$ então o sinal de $\sigma,$ $\sigma^{-1}$ e $\pi\circ\sigma\circ\pi^{-1}$ são os mesmos..

\end{document}

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