map2110-l6.tex

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\newcommand{\quest}{\stepcounter{questao}{\bf \arabic{questao}.\ }}

\begin{document}
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 {  \sf  Lista 6 - Revisão I  \hfill \fbox{L6-2020}}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\thispagestyle{empty}
\fontsize{14}{16}\selectfont

\quest Verifique se os vetores $\mathbf{v}_1,$ $\mathbf{v}_2$ e $\mathbf{v}_3$ são linearmente independentes e 
escreva o vetor $\mathbf{u} = \begin{bmatrix}
   1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}$ como combinação linear deles
$$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}
   1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}\text{  } \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}
   1 \\ -1 \\ 2
\end{bmatrix}\text{ e }\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}
   0 \\ -1 \\ 1
\end{bmatrix} $$

\vspace{0.3cm}

\quest Achar a equação geral de um plano $\Pi$ em $\mathbb{R}^3$ ($ax+by+cz=d$) gerado pelos vetores
$\mathbf{v}_1$ e $\mathbf{v}_3$ da questão anterior passando pelo ponto $(1,0,0)$.

\vspace{0.3cm}

\quest Ache todas as soluções do seguinte sistema de equações lineares:
\begin{align*}
   x_1 +x_2 +x_3 -x_4&=3\\
   3x_1+ 5x_2 -2x_3+ x_4&=1 \\
   -3x_1 -7x_2 +7x_3 -5x_4&= 7\\
   x_1+ 3x_2 -4x_3 +3x_4&= -5
\end{align*}


\vspace{0.3cm}

\quest Se $X$ é uma matriz $2\times2$, definimos $p(X) = X^3 - 5X^2 + 11X - 4I$.

Se $p(U) =\begin{bmatrix}
   1 & 3 \\ -1 & 0
\end{bmatrix}$ achar $p(U^T)$.

Se $p(U)=0$ encontre $U^{-1}$ em termos de $U$.

\vspace{0.3cm}

\quest Se $A$ é uma matriz $2\times 2$ e $A^{-1}=A^T$ então
mostre que $A$ só pode ser de uma das seguintes formas:
$$\text{ ou } A = \begin{bmatrix}
   \cos{\theta} & \sin{\theta}\\ -\sin{\theta} & \cos{\theta}
\end{bmatrix} \text{ ou } A=\begin{bmatrix}
   \cos{\theta} & \sin{\theta} \\
   \sin{\theta} & -\cos{\theta}
\end{bmatrix}$$

\end{document}

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