map211020I.tex

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{graphicx}

\parindent=0pt

 \addtolength{\textheight}{3.5cm}
 \addtolength{\oddsidemargin}{-1cm}
 \addtolength{\evensidemargin}{-1cm}
 \addtolength{\textwidth}{2cm}
 \addtolength{\topmargin}{-2.0cm}
\newcounter{questao}
\newcommand{\quest}{\stepcounter{questao}{\bf \arabic{questao}.\ }}

\begin{document}
\setdefaultlanguage[variant=brazilian]{portuguese}
\hrule
 {  \sf  Lista de exercícios 1 MAP2110  \hfill \fbox{L1-2020}}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\thispagestyle{empty}
\fontsize{14}{16}\selectfont

\quest Mostre que 

$$ 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = (1+2+ \cdots n)^2 $$

\vspace{0.3cm}

\quest Note a sequência de identidades:
\begin{gather*}
  1=1 \\
  1 -4 = -(1+2) \\
  1 -4 + 9 = 1+2+3 \\
  \cdots
\end{gather*}
infira uma lei geral e a demonstre por indução.

\vspace{0.3cm}

\quest Seja $\mathbf{v}=(1, 5, -2)$ e $\mathbf{w}=(0 , t, 2t)$,onde $t\in \mathbb{R}$,
achar a norma $\|\mathbf{v}-2\mathbf{w}\|$. Para que valor de $t$ esta norma atinge o
máximo. E o mínimo.

\vspace{0.3cm}

\quest Achar a projeção ortogonal do vetor $\mathbf{v}=(1,2,0)$ na direção do 
vetor $(0,1, 1)$

\vspace{0.3cm}

\quest Vamos considerar $\mathbb{N}^2 = \{ (i,j): i,j \in \mathbb{N}\}$ como um
subconjunto de $V_2$ (são os vetores com coordenadas naturais). Além disso defino 
um conjunto $I=\{(x,y)\in \mathbb{N}^2 \text{ tal que }  10\leq x \leq 15 \text{ e }
10 \leq y \leq 15\}$ e  $K=\{(x,y)\in \mathbb{N}^2 \text{ tal que } 40 \leq y \}$
A região de $\mathbb{N}^2$ fora de $I$ e fora de $K$ vamos chamar de \textbf{mar}.
Um circuito em torno de $I$ é uma sequência de vetores não nulos
$\mathbf{v}_1, \dots , \mathbf{v}_k$ tal que 
\begin{itemize}
    \item $\sum_{i=1}^k \mathbf{v}_i= (0,0)$
    \item $\sum_{i=1}^l \mathbf{v}_i$ está no mar para $l<k$
    \item $\| \mathbf{v}_{i+1}-\mathbf{v}_i\| \leq 1.5 $
\end{itemize}
Exiba um circuito neste caso. Tente fazer com que $k$ seja o menor possível.
\end{document}