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\documentclass[12pt]{article}
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\parindent=0pt
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\newcounter{questao}
\newcommand{\quest}{\stepcounter{questao}{\bf \arabic{questao}.\ }}
\begin{document}
\hrule
{ \sf Lista de Exercícios- MAP151-6 \hfill \fbox{L6-2016}}
\hrule
\vspace{0.5cm}
\thispagestyle{empty}
\fontsize{14}{16}\selectfont
\quest Seja $\mathbf{T}=\{ (x_0,y_0), \dots , (x_k,y_k)\}$ uma tabela regular. Mostre que os polinômios de Lagrange desta tabela são linearmente independentes, isto é, $\sum_{i=0}^k a_iL_i(x) = 0$ se, e somente se, $a_i=0$ para todo índice $i$. Se $p(x)$ é um polinômio de grau menor ou igual a $k$, então ele se escreve de uma única forma como combinação linear dos polinômios de Lagrange. Como são as coordenadas?
\vspace{0.3cm}
\quest Ache o polinômio interpolador na forma de Lagrange da tabela
$\{(0,1),(1,3), (5,2), (3,1)\}$
\vspace{0.3cm}
\quest Na tabela $\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$, os elementos $x_i$ são as raizes do polinômio $q(x)=2x^3-3x^2 -2x +3$ e o polinômio interpolador da tabela é $p(x) = x^2 + 2x$. Adicionando-se o ponto $(0,1)$ à tabela original, qual é o novo polinômio interpolador?
\vspace{0.3cm}
\quest Faça a tabela de diferenças divididas e escreva o polinômio interpolador na forma de Newton da tabela abaixo
$\{(0,2),(1,0), (5,2), (3,1)\}$
\vspace{0.3cm}
\quest Considere a tabela da função $f(x) = \frac{\exp{(-x^2/2)}}{\sqrt{2\pi}}$
\begin{tabular}{||c|c|c|c|c||}
$ -1$&$-0.5$&$0$&$0.5$&$1$ \\ \hline
$0.242$&$0.352$&$0.399$&$0.352$&$0.242$
\end{tabular}
Faça uma estimativa de $f(0.3)$ e ache uma estimativa do erro cometido.
\vspace{0.3cm}
\quest Calcule a integral
$$ \int_{-1}^1 \frac{x+1}{x^2 + 2}dx $$
usando
\begin{itemize}
\item o método do trapézio com duas repetições
\item o método de Simpson simples
\item o método de Simpson com duas repetições
\end{itemize}
\vspace{0.3cm}
\quest Ache os quatro primeiros polinômios ortogonais em relação ao produto interno $$ <f,g> = \int_{-1}^1f(x)g(x)dx. $$ Escreva o polinômio $p(x)=x^2$ como combinação linear dos polinômios desta família.
\end{document}
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%%% End: