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title: BCHの公式の一次近似 (補足) author: SternGerlach

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こちらのメモの補足です。 おまけとして、BCH (Baker-Campbell-Hausdorff) の公式の最初の部分を示します。

準備

行列$\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$があるとする。 $\exp(\mathbf{A})$は行列指数関数であり、次のように定義される。

$$ \exp(\mathbf{A}) = \mathbf{I} + \mathbf{A} + \frac{1}{2!} \mathbf{A}^2 + \frac{1}{3!} \mathbf{A}^3 + \cdots = \sum_{n = 0}^\infty \frac{\mathbf{A}^n}{n!} $$

また、$[\mathbf{A}, \mathbf{B}]$はリー括弧積 (Lie bracket)であり、次のように定義される。

$$ [\mathbf{A}, \mathbf{B}] = \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} $$

スカラー$t$の関数$\mathbf{W}(t)$があり、以下の関係が成り立つとする。

$$ \exp(\mathbf{W}(t)) = \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{W}(t) = \ln(\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B})) $$

$\mathbf{W}(t)$は次のように、項$\mathbf{F}_n(\mathbf{A}, t \mathbf{B})$の総和として表されるとする。 $\mathbf{F}_n(\mathbf{A}, t \mathbf{B})$は、$\mathbf{A}$と$\mathbf{B}$を合計で$n$個含むような項を、まとめたものである。

$$ \mathbf{W}(t) = \sum_{n = 0}^\infty \mathbf{F}_n(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) $$

ただし、行列の対数$\ln(\mathbf{X})$は以下のように定義される。

$$ \ln(\mathbf{X}) = \left( \mathbf{X} - \mathbf{I} \right) - \frac{1}{2} \left( \mathbf{X} - \mathbf{I} \right)^2 + \frac{1}{3} \left( \mathbf{X} - \mathbf{I} \right)^3 + \cdots = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{n} \left( \mathbf{X} - \mathbf{I} \right)^n $$

よって

$$ \begin{eqnarray} \mathbf{W}(t) &=& \ln(\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B})) \\ &=& \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right) \\ && - \frac{1}{2} \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^2 \\ && + \frac{1}{3} \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3 \\ && - \frac{1}{4} \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^4 + \cdots \end{eqnarray} $$

以下では、最初に$\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)$から$\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^4$までを計算する。 続いて、$\ln(\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}))$から4次までの項($\mathbf{A}$と$\mathbf{B}$を最大4つまで含む項)を取り出して、$\mathbf{F}_0(\mathbf{A}, t \mathbf{B})$から$\mathbf{F}_4(\mathbf{A}, t \mathbf{B})$までを実際に計算する。

$\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)$の計算

$\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B})$は、4次の項まで展開すれば次のようになる。

$$ \begin{eqnarray} \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) &=& \left( \mathbf{I} + \mathbf{A} + \frac{1}{2!} \mathbf{A}^2 + \frac{1}{3!} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{4!} \mathbf{A}^4 + \cdots \right) \\ && \left( \mathbf{I} + t \mathbf{B} + \frac{1}{2!} t^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{3!} t^3 \mathbf{B}^3 + \frac{1}{4!} t^4 \mathbf{B}^4 + \cdots \right) \\ &=& \mathbf{I} + \mathbf{A} + \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + \frac{1}{6} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{24} \mathbf{A}^4 \\ && + t \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{6} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} \\ && + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \\ && + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && + \frac{1}{24} t^4 \mathbf{B}^4 + \cdots \end{eqnarray} $$

従って、$\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I}$は、次のようになる。

$$ \begin{eqnarray} \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} &=& \mathbf{A} + \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + \frac{1}{6} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{24} \mathbf{A}^4 \ && + t \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{6} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} \ && + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \ && + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \ && + \frac{1}{24} t^4 \mathbf{B}^4 + \cdots \ &=& \mathbf{A} + t \mathbf{B} \ && + \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \ && + \frac{1}{6} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 \ && + \frac{1}{24} \mathbf{A}^4 + \frac{1}{6} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 + \frac{1}{24} t^4 \mathbf{B}^4 + \cdots \ &=& \mathbf{U}{11} + \mathbf{U}{12} + \mathbf{U}{13} + \mathbf{U}{14} + \cdots \end{eqnarray} $$

$\mathbf{U}{11}$、$\mathbf{U}{12}$、$\mathbf{U}{13}$、$\mathbf{U}{14}$はそれぞれ、$\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)$の1次、2次、3次、4次の項である。

$\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^2$の計算

$(\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I})^2$は、以下のように求められる(4次の項まで)。

$$ \begin{eqnarray} && (\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I})^2 \ &=& \left( \mathbf{U}{11} + \mathbf{U}{12} + \mathbf{U}{13} + \mathbf{U}{14} + \cdots \right) \left( \mathbf{U}{11} + \mathbf{U}{12} + \mathbf{U}{13} + \mathbf{U}{14} + \cdots \right) \ &=& \mathbf{U}{11}^2 + \left( \mathbf{U}{11} \mathbf{U}{12} + \mathbf{U}{12} \mathbf{U}{11} \right) + \left( \mathbf{U}{11} \mathbf{U}{13} + \mathbf{U}{12}^2 + \mathbf{U}{13} \mathbf{U}{11} \right) + \cdots \ &=& \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \ && + \Bigg{ \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \left( \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \right) \ && + \left( \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \right) \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \Bigg} \ && + \Bigg{ \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \left( \frac{1}{6} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 \right) \ && + \left( \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \right) \left( \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \right) \ && + \left( \frac{1}{6} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 \right) \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \Bigg} + \cdots \end{eqnarray} $$

これを順に計算すれば $$ \begin{eqnarray} && (\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I})^2 \ &=& \left( \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + t \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{B}^2 \right) \ && + \Bigg{ \left( \frac{1}{2} \mathbf{A}^3 + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B}^3 \right) \ && \quad + \left( \frac{1}{2} \mathbf{A}^3 + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B}^3 \right) \Bigg} \ && + \Bigg{ \Bigg( \frac{1}{6} \mathbf{A}^4 + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \ && \qquad + \frac{1}{6} t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg) \ && \quad + \Bigg( \frac{1}{4} \mathbf{A}^4 + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \ && \qquad + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{4} t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg) \ && \quad + \Bigg( \frac{1}{6} \mathbf{A}^4 + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} \ && \qquad + \frac{1}{6} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 + \frac{1}{6} t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg) \Bigg} + \cdots \end{eqnarray} $$

項をまとめて

$$ \begin{eqnarray} && (\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I})^2 \ &=& \left( \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + t \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{B}^2 \right) \ && + \Bigg{ \mathbf{A}^3 + \frac{3}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \ && \quad + \frac{1}{2} t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{B}^3 \Bigg} \ && + \Bigg{ \frac{7}{12} \mathbf{A}^4 + \frac{7}{6} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{5}{4} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \ && \quad + \frac{1}{2} t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + \frac{7}{6} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \ && \quad + \frac{1}{6} t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \ && \quad + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} + \frac{7}{12} t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg} + \cdots \ &=& \mathbf{U}{22} + \mathbf{U}{23} + \mathbf{U}_{24} + \cdots \end{eqnarray} $$

$\mathbf{U}{22}$、$\mathbf{U}{23}$、$\mathbf{U}_{24}$はそれぞれ、$\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^2$の2次、3次、4次の項である。

$\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3$の計算

続いて、$\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3$は、以下のようになる(4次の項まで)。

$$ \begin{eqnarray} && \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3 \ &=& \left( \mathbf{U}{22} + \mathbf{U}{23} + \mathbf{U}{24} + \cdots \right) \left( \mathbf{U}{11} + \mathbf{U}{12} + \mathbf{U}{13} + \mathbf{U}{14} + \cdots \right) \ &=& \mathbf{U}{22} \mathbf{U}{11} + \left( \mathbf{U}{22} \mathbf{U}{12} + \mathbf{U}{23} \mathbf{U}_{11} \right) + \cdots \ &=& \left( \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + t \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{B}^2 \right) \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \ && + \Bigg{ \left( \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + t \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{B}^2 \right) \left( \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \right) \ && \quad + \Bigg( \mathbf{A}^3 + \frac{3}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \ && \qquad + \frac{1}{2} t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{B}^3 \Bigg) \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \Bigg} + \cdots \end{eqnarray} $$

これを順に計算すれば

$$ \begin{eqnarray} && \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3 \\ &=& \left( \mathbf{A}^3 + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B}^3 \right) \\ && + \Bigg{ \frac{1}{2} \mathbf{A}^4 + \frac{1}{2} t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + \frac{1}{2} t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 \\ && \quad + t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \\ && \quad + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t^4 \mathbf{B}^4 \\ && \quad + \mathbf{A}^4 + \frac{3}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \\ && \quad + \frac{1}{2} t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} \\ && \quad + t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{3}{2} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && \quad + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg} + \cdots \end{eqnarray} $$

項をまとめて

$$ \begin{eqnarray} && \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3 \ &=& \left( \mathbf{A}^3 + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{B}^3 \right) \ && + \Bigg{ \frac{3}{2} \mathbf{A}^4 + 2 t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{3}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + 2 t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \ && \quad + \frac{3}{2} t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + 2 t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + 2 t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \ && \quad + t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{3}{2} t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \ && \quad + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + \frac{3}{2} t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} + \frac{3}{2} t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg} + \cdots \ &=& \mathbf{U}{33} + \mathbf{U}{34} + \cdots \end{eqnarray} $$

$\mathbf{U}{33}$、$\mathbf{U}{34}$はそれぞれ、$\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3$の3次、4次の項である。

$\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^4$の計算

最後に、$\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^4$は、以下のようになる(4次の項まで)。

$$ \begin{eqnarray} && \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^4 \ &=& \left( \mathbf{U}{33} + \mathbf{U}{34} + \cdots \right) \left( \mathbf{U}{11} + \mathbf{U}{12} + \mathbf{U}{13} + \mathbf{U}{14} + \cdots \right) \ &=& \mathbf{U}{33} \mathbf{U}{11} + \cdots \ &=& \big( \mathbf{A}^3 + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \ && \quad + t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{B}^3 \big) \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) + \cdots \ &=& \big( \mathbf{A}^4 + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \ && \quad + t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} \big) \ && + \big( t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \ && \quad + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + t^4 \mathbf{B}^4 \big) + \cdots \ &=& \mathbf{A}^4 + t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \ && + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \ && + t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \ && + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} + t^4 \mathbf{B}^4 + \cdots \ &=& \mathbf{U}_{44} + \cdots \end{eqnarray} $$

$\mathbf{U}_{44}$はそれぞれ、$\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^4$の4次の項である。

$\mathbf{F}_n(\mathbf{A}, t \mathbf{B})$の計算 ($0 \le n \le 2$)

これらを$\ln(\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}))$に代入する。

$$ \begin{eqnarray} \ln(\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B})) &=& \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right) \ && \quad - \frac{1}{2} \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^2 \ && \quad + \frac{1}{3} \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3 \ && \quad - \frac{1}{4} \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^4 + \cdots \ &=& \left( \mathbf{U}{11} + \mathbf{U}{12} + \mathbf{U}{13} + \mathbf{U}{14} + \cdots \right) \ && \quad - \frac{1}{2} \left( \mathbf{U}{22} + \mathbf{U}{23} + \mathbf{U}{24} + \cdots \right) \ && \quad - \frac{1}{3} \left( \mathbf{U}{33} + \mathbf{U}{34} + \cdots \right) \ && \quad - \frac{1}{4} \left( \mathbf{U}{44} + \cdots \right) + \cdots \ &=& \sum_{n = 0}^\infty \mathbf{F}_n(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) \end{eqnarray} $$

0次から4次までの項を順に取り出して、$\mathbf{F}_n(\mathbf{A}, t \mathbf{B})$を計算すると、次のようになる。

$$ \mathbf{F}_0(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) = 0 $$

$$ \mathbf{F}1(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) = \mathbf{U}{11} = \mathbf{A} + t \mathbf{B} $$

$$ \begin{eqnarray} \mathbf{F}2(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) &=& \mathbf{U}{12} - \frac{1}{2} \mathbf{U}_{22} \ &=& \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 - \frac{1}{2} \left( \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + t \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{B}^2 \right) \ &=& \frac{1}{2} t \mathbf{A} \mathbf{B} - \frac{1}{2} t \mathbf{B} \mathbf{A} \ &=& \frac{1}{2} t \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right) \ &=& \frac{1}{2} t [\mathbf{A}, \mathbf{B}] \end{eqnarray} $$

$\mathbf{F}_3(\mathbf{A}, t \mathbf{B})$の計算

$$ \begin{eqnarray} && \mathbf{F}3(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) \ &=& \mathbf{U}{13} - \frac{1}{2} \mathbf{U}{23} + \frac{1}{3} \mathbf{U}{33} \ &=& \left( \frac{1}{6} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 \right) \ && - \frac{1}{2} \Bigg( \mathbf{A}^3 + \frac{3}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \ && \quad + \frac{1}{2} t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{B}^3 \Bigg) \ && + \frac{1}{3} \big( \mathbf{A}^3 + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \ && \quad + t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{B}^3 \big) \end{eqnarray} $$

項をまとめて

$$ \begin{eqnarray} && \mathbf{F}_3(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) \\ &=& \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{A}^3 + t \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \\ && + t \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \\ && + t \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \\ && + t^2 \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{B}^3 \\ &=& \frac{1}{12} t \left( \mathbf{A}^2 \mathbf{B} - 2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \mathbf{B} \mathbf{A}^2 - 2 t \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \right) \\ &=& \frac{1}{12} t \big( \left( \mathbf{A} \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right) - \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right) \mathbf{A} \right) \\ && \quad - \left( t \mathbf{B} \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right) - \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right) t \mathbf{B} \right) \big) \\ &=& \frac{1}{12} [\mathbf{A}, [\mathbf{A}, t \mathbf{B}]] - \frac{1}{12} [t \mathbf{B}, [\mathbf{A}, t \mathbf{B}]] \\ &=& \frac{1}{12} t [\mathbf{A}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]] - \frac{1}{12} t^2 [\mathbf{B}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]] \end{eqnarray} $$

$\mathbf{F}_4(\mathbf{A}, t \mathbf{B})$の計算

$$ \begin{eqnarray} && \mathbf{F}4(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) \ &=& \mathbf{U}{14} - \frac{1}{2} \mathbf{U}{24} + \frac{1}{3} \mathbf{U}{34} - \frac{1}{4} \mathbf{U}_{44} \ &=& \left( \frac{1}{24} \mathbf{A}^4 + \frac{1}{6} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 + \frac{1}{24} t^4 \mathbf{B}^4 \right) \ && \quad - \frac{1}{2} \Bigg{ \frac{7}{12} \mathbf{A}^4 + \frac{7}{6} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{5}{4} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \ && \qquad + \frac{1}{2} t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + \frac{7}{6} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \ && \qquad + \frac{1}{6} t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \ && \qquad + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} + \frac{7}{12} t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg} \ && \quad + \frac{1}{3} \Bigg{ \frac{3}{2} \mathbf{A}^4 + 2 t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{3}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + 2 t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \ && \qquad + \frac{3}{2} t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + 2 t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + 2 t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \ && \qquad + t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{3}{2} t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \ && \qquad + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + \frac{3}{2} t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} + \frac{3}{2} t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg} \ && \quad - \frac{1}{4} \Bigg{ \mathbf{A}^4 + t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \ && \qquad + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \ && \qquad + t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \ && \qquad + t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} + t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg} \end{eqnarray} $$

これほど長大な足し算は人生で初めてかもしれない。 項をまとめて

$$ \begin{eqnarray} && \mathbf{F}_4(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) \\ &=& \left( \frac{1}{24} - \frac{7}{24} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A}^4 + t \left( \frac{1}{6} - \frac{7}{12} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A}^3 \mathbf{B} \\ && \quad + t \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{5}{8} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \\ && \quad + t \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \left( -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \\ && \quad + t^2 \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \left( \frac{1}{6} - \frac{7}{12} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && \quad + t \left( -\frac{1}{12} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + t^2 \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \\ && \quad + t^2 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t^3 \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \\ && \quad + t^2 \left( -\frac{1}{8} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + t^3 \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \\ && \quad + t^3 \left( -\frac{1}{12} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B}^3 \mathbf{A} + t^4 \left( \frac{1}{24} - \frac{7}{24} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B}^4 \\ &=& \frac{1}{24} t^2 \left( \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 - 2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + 2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} - \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 \right) \end{eqnarray} $$

これを次のように整理すれば

$$ \begin{eqnarray} && \mathbf{F}_4(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) \\ &=& -\frac{1}{24} t^2 \left( \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} - 2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 - \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + 2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \right) \\ &=& -\frac{1}{24} t^2 \left( \mathbf{B} \left( \mathbf{A}^2 \mathbf{B} - 2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \right) - \left( \mathbf{A}^2 \mathbf{B} - 2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \right) \mathbf{B} \right) \\ &=& -\frac{1}{24} t^2 [\mathbf{B}, \mathbf{A}^2 \mathbf{B} - 2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \mathbf{B} \mathbf{A}^2] \\ &=& -\frac{1}{24} t^2 [\mathbf{B}, \mathbf{A} \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right) - \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right) \mathbf{A}] \\ &=& -\frac{1}{24} t^2 [\mathbf{B}, [\mathbf{A}, \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right)]] \\ &=& -\frac{1}{24} t^2 [\mathbf{B}, [\mathbf{A}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]]] \end{eqnarray} $$

BCHの公式 (一部)

上記の$\mathbf{F}_n(\mathbf{A}, t \mathbf{B})$を使うと、$\mathbf{W}(t)$の最初の項は次のようになる。

$$ \begin{eqnarray} \ln(\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B})) &=& \mathbf{W}(t) \\ &=& \mathbf{F}_1(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) + \mathbf{F}_2(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) + \mathbf{F}_3(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) + \mathbf{F}_4(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) + \cdots \\ &=& \mathbf{A} + t \mathbf{B} + \frac{1}{2} t [\mathbf{A}, \mathbf{B}] + \frac{1}{12} t [\mathbf{A}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]] - \frac{1}{12} t^2 [\mathbf{B}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]] \\ && \quad - \frac{1}{24} t^2 [\mathbf{B}, [\mathbf{A}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]]] + \cdots \end{eqnarray} $$

$t = 1$とすれば次のように、BCH (Baker-Campbell-Hausdorff) の公式の最初の部分が得られる。

$$ \begin{eqnarray} \ln(\exp(\mathbf{A}) \exp(\mathbf{B})) &=& \mathbf{A} + \mathbf{B} + \frac{1}{2} [\mathbf{A}, \mathbf{B}] + \frac{1}{12} [\mathbf{A}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]] - \frac{1}{12} [\mathbf{B}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]] \\ && \quad - \frac{1}{24} [\mathbf{B}, [\mathbf{A}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]]] + \cdots \end{eqnarray} $$