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Fall 2014: Circuits & Systèmes I
[TOC]
- systèmes d'unité
- ampère
$A$ - volt
$V$ - coulomb
$C=\frac{A}{s}$ - ohm
$\Omega$ - siemens
$S$ - henry
$H$ - farad
$F$ - watt
$W$ - joule
$J$ - hertz
$Hz$
- ampère
- grandeurs usuelles
-
charge :
$q(t)=\int^t_0 i(t)\d t$ en coulomb avec$1C=6.24\cdot 10^{18}$ électrons -
courant : intensité
$i$ en ampère (quantitié de matière dynamique qui se déplace) - tension : potentiel éléctrique en volt (quantité de matière statique disponible)
-
puissance : en watt
- instantée :
$p(t)=u(t)i(t)=Ri^2(t)=\frac{u^2(t)}{R}$ - moyenne :
$P=\frac{1}{T}\int^T_0 u(t)i(t)\d t$
- instantée :
-
énergie:
$w(t)=\int^T_0 p(t)\d t$ en joule
-
charge :
- éléments de base de circuit
- branche : série de segments
- noeuds : point du réseau relié au moins à deux branches
- maille : parcours fermé, consistué de branches, ne passant qu'une seule fois par un noeud donné
- boucle : maille qui ne contient pas d'autres mailles en son sein
- dipôle : boîte noire connectée à son environnement par deux connexions (broches)
-
résistance :
$u(t)=Ri(t)$ avec$R$ en ohm- court-circuit : résistance tend vers 0
- circuit-ouvert : résistance tend vers l'infini
- conductance :
$G=\frac{1}{R}$ inverse la résistance en siemens
-
capacité :
$q(t)=Cu(t)$ donc$u(t)=u(0)+\frac{1}{C}\int_0^T i(t)\d t$ en farad-
énergie électrostatique :
$w_c(t)=\frac{1}{2}Cu^2(t)$
-
énergie électrostatique :
-
inductance :
$u(t)=L\frac{\d i}{\d t}$ en henry-
énergie magnétique :
$w_L(t)=\frac{1}{2}Li^2(t)$ - inductances couplées :
$u_1=L_{11}\frac{\d i_1}{\d t}+L_{12}\frac{\d i_2}{\d t}$ et$u_2=L_{12}\frac{\d i_1}{\d t}+L_{22}\frac{\d i_2}{\d t}$
-
énergie magnétique :
- éléments actifs : avec apport ou perte de courant/tension
- source de tension : quantité de matière disponible
- source de courant : déplacement d'une quanitité de matière
- sources commandées
- source de tension réele : en série avec une résistance
- source de courant réele : en paralèlle avec une résistance
-
loi d'Ohm :
$u(t)=Ri(t)$ -
lois de Kirchhoff : cas particulier du modèle de Maxwell (lorsque que la longueur d'onde est bien supérieure aux éléments)
-
loi des noeuds :
$\sum_{j=1}^N i_j=0$ -
loi des mailles :
$\sum_{j=1}^N u_j=0$
-
loi des noeuds :
- combinaison d'élements
-
en série : même courant
- résistance :
$R_s=\sum_{k=1}^n R_k$ - capacité :
$\frac{1}{C_s}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{C_k}$ et$u(0)=\sum_{k=1}^n u_{Ck}(0)$ - inductances :
$L_s=\sum^n_{k=1}L_k$ et$i(0)=i_{Lk}(0)$ - sourcee de tension :
$u_s=\snk u_k$ - source de courant : impossible sauf si même courant
- résistance :
-
en parallèle : même tension
- résistance :
$\frac{1}{R_p}=\snk \frac{1}{R_k}$ - capacité :
$C_p=\snk C_k$ et$u(0)=u_{Ck}(0)$ - inductances :
$\frac{1}{L_p}=\snk \frac{1}{L_k}$ et$i(0)=\snk i_{Lk}(0)$ - sourcee de tension : impossible sauf si même tension
- source de courant :
$i_p=\snk i_k$
- résistance :
-
en série : même courant
-
diviseur de tension
- résistif :
$u_2=u\frac{R_2}{R_1+R_2}$ - capacitif :
$u_2=u\frac{C_1}{C_1+C_2}$ - inductif :
$u_2=u\frac{L_2}{L_1+L_2}$
- résistif :
-
diviseur de courant
- résistif :
$i_2=i\frac{R_1}{R_1+R_2}$ - capacitif :
$i_2=i\frac{C_2}{C_1+C_2}$ - inductif :
$i_2=i\frac{L_1}{L_1+L_2}$
- résistif :
- circuits linéaires : résistance, capacité, inductance sont linéaires
-
principe de superposition : analyser séparemment l'effet des sources (par annulation)
- annuler tension : remplacer source par court-circuit
- annuler courant : remplacer source par circuit-ouvert
-
transformation de sources : source de tension en série avec une résistance peut être transformé en source de courant en parallèle avec la même résistance selon
$U=RI$ (inversion du sens entre courant et tension)- substitution des sources : si même tension dans les mailles ou même courant dans les noeuds
-
théorème de Thévenin : remplacer un circuit complexe par un circuit composé d'une source de tension et d'une résistance avec $u_0=u_{ab}|{i=0}$ et $R_i=R{ab}|_{u_j=0,i_k=0}$
- identifier les bornes du circuit et la charge externe
- mesurer ou calculer la tension aux bornes du circuit sans charge extéreure : c'est la charge de Thévenin
- annuler les sources indépendantes et déterminer la résistance vue des bornes du circuit : c'est la résistance de Thévenin
-
théorème de Norton : même chose que Thévenin mais pour une source de courant avec $i_0=i|{u{ab}=0}$ et
$R_i=R_{ab}|_{u_j=0,i_k=0}$ - identifier les bornes du circuit et la charge externe
- court-circuiter les bornes du circuit et déterminer théoriquement ou expérimentalement l'intensité du courant de court-circuit : c'est la source de courant de Norton
- annuler les sources indépendantes et déterminer la résistance vue des bornes du circuit : c'est la résistance de Norton et Thévenin
-
théorème de Millman :
$V_x=\frac{V_1/R_1+V_3/R_3+V_3/R_3}{1/R_1+1/R_2+1/R_3}$
-
analyse nodale : utilisation des tensions des noeuds comme variable $\begin{pmatrix}G_1+G_2 & -G_2 \\ -G_2 & G_2+G_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I_1-I_2 \\ I_2\end{pmatrix}$ où
-
$G_{kk}$ : somme des conductances reliées au noeud$k$ -
$G_{kj}=G_{jk}$ : somme avec signe négatif des conductances reliant directement les noeuds$k$ et$j$ -
$v_k$ : tension inconnue au noeud$k$ -
$i_k$ : somme de toutes les sources indépendantes de courant directement relié au noeud$k$ (courants entrants considérés comme positif) - procédure :
- sélection du noeud de référence et attribution de tensions aux autres noeuds (différence de potentiel par rapport au noeud de référence)
- appliquer la loi des noeuds et exprimer le courants des branches
- résoudre le système d'équations
-
-
analyse de mailles : utilisation des courants des mailles comme variable (uniquement pour les circuits planaires et utilise les boucles, pas les mailles) $\begin{pmatrix}R_1+R_3 & -R_3 \\ -R_3 & R_2+R_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i_1\\ i_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}V_1 \\ -V_2\end{pmatrix}$
- circuit planaire : circuit pour lequel les branches ne se croisent pas (aplatissement possible)
-
$R_{kk}$ : somme des résistances appartenant à la maille$k$ -
$R_{kj}=R_{jk}$ : somme avec signe négatif des réssitances communes aux mailles$k$ et$j$ -
$i_k$ : courant inconnu de la maille$k$ -
$v_k$ : somme des toutes les sources indépendantes de tension de la maille$k$ - procédure :
- identifier les courants des mailles pour les boucles du circuit
- appliquer la loi des mailles et utiliser la loi d'Ohm
- résoudre le système d'équations
- fonctions périodiques : signal
- alternatif : valeurs centrées autour d'un seuil de référence
- périodique : reproduisant la même évolution après une période
$T$ - fréquence : nombre de cycle par unité de temps
$f=\frac{1}{T}$ en hertz - continu : en MAJUSCULE
$U$ ,$V$ ,$I$ - variable : en miniscule
$u(t)$ ,$v(t)$ ,$i(t)$ ,$\underline u$ ,$\underline v$ ,$\underline i$ - valeur crête : amplitude avec un accent circonflexe
- valeur crête-crête : valeur entre maximum et minimum
-
valeur moyenne :
$\bar X =\frac{1}{T}\int_0^T x(t) \d t$ -
valeur moyenne redressée :
$\frac{1}{T}\int_0^T |H(t)| dt$ -
valeur efficace :
$X=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^Tx^2(t)\d t}$ - redressement : valeur absolue du signal
- grandeurs sinusoidales :
$x(t)=A\sin(\frac{2\pi}{T}t+\alpha)=A\sin(2\pi ft+\alpha)=A\sin(\omega t+\alpha)$ -
pulsation (fréquence angulaire) :
$\omega=2\pi f =\frac{2\pi}{T}$ en radians par seconde- circuit RC :
$\omega_0=\frac{1}{RC}$ - circuit RL :
$\omega_0=\frac{L}{R}$ - circuit RLC :
$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
- circuit RC :
-
valeure moyenne :
$0$ -
valeur efficace :
$X=\frac{A}{\sqrt{2}}$ -
tension :
$u(t)=\hat U\cos(\o t+\alpha)=\sqrt{2}U\cos(\o t+\alpha)$ où$U=\frac{\hat U}{\sqrt{2}}$ - courant :
$i(t)=\hat I\cos(\o t+\beta)=\sqrt{2}I\cos(\o t+\beta)$ où$I=\frac{\hat I}{\sqrt{2}}$ -
déphasage :
$\phi=\alpha-\beta$ , si$\phi > 0$ alors tension en avance sur courant, sinon en retard - échauffement d'une résistance : la valeur efficace a été définie de sorte qu'un volt continu ou alternatif produise le même échauffement
-
pulsation (fréquence angulaire) :
- importance du régime sinusoidal
- génération triphasé grâce à la rotation d'un bobinage placé dans un champ magnétique
- addition/dérivé/intrégrale également sinusoidale
- réponse d'un circuit linéaire à une excitation sinusoidale : tous les courants et tensons seront sinusoidaux de même fréquence
- nombres complexes
- notions d'algèbre complexe :
$z=a+jb$ et$j^2=-1$ - conjugé :
$z^*=a-jb$ - module :
$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ - argument :
$\theta=arg(z)=\arctan\frac{b}{a}$ - module d'un produit/rapport : produit des modules/rapport
- argument d'un produit/rapport : somme/différence des arguments
- conjugé :
- formule d'Euler :
$z=a+jb=re^{j\t}=r\cos\t+jr\sin\t$ car$e^{j\t}=\cos\t+j\sin\t$ $\cos\t=\frac{1}{2}(e^{j\t}+e^{-j\t})$ $\sin\t=\frac{1}{2j}(e^{j\t}-e^{-j\t})$ $a=r\cos\t$ $b=r\sin\t$
- dérivation :
$\frac{\d z}{\d\t}=rje^{j\t}=re^{j\pi/2}e^{j\t}=re^{j(\t+\pi/2)}$ - intégration :
$\int z\d\t=\int re^{j\t}\d\t=rj^{-1}e^{j\t}=re^{j(\t-\pi/2)}$
- notions d'algèbre complexe :
-
phaseur : moyen simple de représenter des tensions et courants sinusoidaux
-
définition : sachant
$x(t)=\sqrt{2}X\cos(\o t+\t)=Re{\sqrt{2}Xe^{j(\o t+\t)}}$ on peut noter$\ub{\sqrt{2}Xe^{j(\o t+\t)}}$ - dans un circuit linéaire en régime sinusoidale permanent, tous courants et tensions ont la même pulsation : toutes grandeurs peut être caractérisé uniquement par son amplitude (valeur efficace) et sa phase
- phaseur :
$\ub X = X e^{j\t}$ ne dépend pas du temps - valeur instantanée complexe :
$\ub x=Xe^{j\t}e^{j\o t}$ $u(t)=\sqrt{2}U\cos(\o t+\alpha)\iff\ub U=Ue^{j\alpha}$ $i(t)=\sqrt{2}I\cos(\o t+\beta)\iff\ub I=Ie^{j\beta}$
-
opérations élémentaires
- dérivation :
$\ub Y = j\o\ub X$ - intégration :
$\ub Y = \frac{1}{j\o}\ub X$
- dérivation :
-
définition : sachant
-
impédance :
$\ub Z = \frac{\ub u}{\ub i}=\frac{\ub U}{\ub I}=Ze^{j\phi}=R+jX$ - résistance :
$R=Z\cos\phi$ - réactance :
$X=Z\sin\phi$ - module :
$Z=\sqrt{R^2+X^2}$ - angle :
$\phi=\arctan\frac{X}{R}$ - résistance :
$\ub Z_R=R$ ,$Z_R=R$ et$\phi_R=0$ - capacité :
$\ub Z_C=\frac{1}{j\o C}$ ,$Z_C=\frac{1}{\o C}$ et$\phi_C=-\pi/2$ où$R_C=0$ et$X_C=\frac{-1}{\o C}$ - inductance :
$\ub Z_L=j\o L$ ,$Z_L=\o L$ et$\phi_L=\pi/2$ où$R_L=0$ et$X_L=\o L$
- résistance :
-
admittance :
$\ub Y = \frac{1}{\ub Z}=Ye^{-j\phi}=G+jB$ en siemens- conductance :
$G=Y\cos\phi$ - susceptance :
$B=-Y\sin\phi$ - module :
$Z=\sqrt{G^2+B^2}$ - angle :
$\phi=\arctan\frac{-B}{G}$
- conductance :
- source avec impédance interne
$\ub U=\ub U_0-\ub Z_i\ub I$ $\ub I=\ub I_0-\ub Y_i\ub U$ - équivalence sources :
$\ub U_0=\ub Z_i\ub I_0$ et$\ub I_0=\ub Y_i\ub U_0$
-
réseaux d'impédances
- en série :
$\ub Z_s=\snk \ub Z_k$ - en parallèle :
$\ub Y_s = \snk \ub Y_k$
- en série :
-
diagramme de phaseur et d'impédance
- résistance : uniquement réel
$R$ - inductance : imaginaire positif
$j\o L$ - capacité : imaginaire négatif
$\frac{-j}{\o C}$ - comportement capacitif : si
$\o L <\frac{1}{\o C}$ - comportement inductif : si
$\o L >\frac{1}{\o C}$
- résistance : uniquement réel
-
tripôles équivalents :
$Z_A=\frac{Z_{AB}Z_{AC}}{Z_{AB}+Z_{AC}+Z_{BC}}$ $Z_B=\frac{Z_{AB}Z_{BC}}{Z_{AB}+Z_{AC}+Z_{BC}}$ $Z_C=\frac{Z_{BC}Z_{AC}}{Z_{AB}+Z_{AC}+Z_{BC}}$ $Z_{BC}=\frac{Z_AZ_B+Z_AZ_C+Z_BZ_C}{Z_A}$ $Z_{AB}=\frac{Z_AZ_B+Z_AZ_C+Z_BZ_C}{Z_C}$ $Z_{AC}=\frac{Z_AZ_B+Z_AZ_C+Z_BZ_C}{Z_B}$
-
diviseur de tension :
$\ub U_2=\ub U\frac{\ub Z_2}{\ub Z_1+\ub Z_2}$ -
diviseur de courant :
$\ub I_2=\ub I\frac{\ub Z_1}{\ub Z_1+\ub Z_2}$ - théorème de Thévenin : $\ub U_0=\ub U_{ab}|{\ub I=0}$ et $\ub Z_i=\ub Z{ab}|_{u_j=0,i_k=0}$
-
théorème de Norton : $\ub I_0=\ub I|{\ub U{ab}=0}$ et
$\ub Z_i=\ub Z_{ab}|_{u_j=0,i_k=0}$ - filtre passe-bas
$H(j\omega)=\frac{1}{1+jw\omega RC}$ - si
$\omega \to 0$ alors$|H(j\omega)|\to 1$ et$arg(H(j\omega))=0$ - si
$\omega \to \infty$ alors$|H(j\omega)|\to 0$ et$arg(H(j\omega))=-\pi/2$
- si
- filtre passe-haut
$H(j\omega)=\frac{\omega RC}{1+jw\omega RC}$ - si
$\omega \to 0$ alors$|H(j\omega)|\to 0$ et$arg(H(j\omega))=\pi/2$ - si
$\omega \to \infty$ alors$|H(j\omega)|\to 10$ et$arg(H(j\omega))=0$
- si
-
pertes :
-
facteur de qualité :
$Q=\frac{R}{X}$ (superposable) - capacité réele : modélisation avec résistance en série
$Z_S=R_S+\frac{1}{\o C_s}$ ou parallèle$Z_p$ - inductance réele : modélisation avec résistance en série
$Z_S=R_S+\o L_s$ ou parallèle$Z_p=\frac{j\o L_pR_p}{R_p+j\o L_p}$
-
facteur de qualité :
-
circuit résonant série : circuit RLC réel (avec résistance de source, de capacité et d'inductance)
- impédance :
$\ub Z=R+j(\o L-\frac{1}{\o C})$ - courant :
$\ub I=\frac{\ub V}{R+j(\o L-\frac{1}{\o C})}$ - amplitude :
$I=\frac{V}{\sqrt{R^2+(\o L-\frac{1}{\o C})^2}}$ - angle :
$\phi=-\arctan\frac{\o L-\frac{1}{\o C}}{R}$ - le circuit se comporte comme une pure résistance et le courant passe par une valeur maximale
$I_0=\frac{V}{R}$ - facteur de qualité :
$Q_0=\frac{\o_0 L}{R}=\frac{1}{\o_0 CR}$
- impédance :
-
bande passante :
$B=\frac{f_0}{Q_0}=\frac{\o_0}{2\pi Q_0}$ -
lieu complexe : extrémité du vecteur en fonction d'un paramètre, généralement la pulsation
- dans le plan complexe, l'inverse d'une droite (demi-droite) est un cercle (demi-cercle)
-
puissance instantanée :
$p(t)=u(t)i(t)=2UI\cos(\o t+\alpha)\cos(\o t+\beta)=UI\cos\phi+UI\cos(2\o t+\alpha+\beta)$ -
puissance active :
$P=UI\cos\phi$ en watt, traduit un échange d'énergie unidirectionnel (composante pulsée, positive, qui oscille autour de$UI\cos\phi$ ) -
puissance réactive :
$Q=UI\sin\phi$ en volt-ampère-réactif ($var$ ), traduit un échange d'énergie oscillatoire (composante alternative de valeur moyenne nulle) -
puissance pour résistance :
$P=UI=\frac{U^2}{R}=RI^2$ ,$Q=0$ et$p(t)=P(1+\cos(2\o t))$ -
puissance pour capacité :
$P=0$ ,$Q=-UI=\frac{U^2}{X_C}=X_CI^2$ et$p(t)=Q\sin(2\o t+2\alpha)$ -
puissance pour inductance :
$P=0$ ,$Q=UI=\frac{U^2}{X_L}=X_LI^2$ et$p(t)=Q\sin(2\o t+2\alpha)$ (pas de dissipation d'énergie) -
puissance pour impédance :
$P=UI\cos\phi=RI^2$ ,$Q=UI\sin\phi=XI^2$ et$p(t)=P[1+\cos(2\o t+2\alpha)]+Q\sin(2\o t+2\alpha)$ -
puissance aparente :
$\ub S=P+jQ=UIe^{j\phi}=Se^{j\phi}=\ub{UI}^*$ en voltampère ($VA$ ) -
facteur de puissance :
$F_p=\cos\phi$ - résistance :
$F_p=1$ - capacité et inductance :
$F_p=0$
- résistance :
-
correction du facteur de puissance : minimiser puissance réactive causé par la nature inductive des charges industrielles
- petit angle et
$S$ doit tendre vers$P$ - on dimimune l'angle en ajoutant des condensateurs en parallèle avec la charge
- petit angle et
-
systèmes triphasés : circuits alimentés par trois sources sinusoidales déphasées entre elles de 120°
- source symétrique (équilibrée) : même amplitude de tensions de source (valeur efficace)
- charge équilibrée : consommation des mêmes puissances active et réactive
-
source triphasée
- en étoile : 3 conducteurs de phase
$R$ ,$S$ ,$T$ et un conducteur neutre$N$ -
tensions simples :
$\ub U_{RN}=\ub U_1=U$ ,$\ub U_{SN}=\ub U_2=Ue^{-j2\pi/3}$ ,$\ub U_{TN}=\ub U_3=Ue^{+j2\pi/3}$ -
tensions de ligne ou composées :
$\ub U_{RS}=\ub U_{RN}-\ub U_{SN}=\sqrt{3}Ue^{j\pi/6}$ ,$\ub U_{ST}=\ub U_{SN}-\ub U_{TN}=\sqrt{3}Ue^{-j\pi/2}$ ,$\ub U_{TR}=\ub U_{TN}-\ub U_{RN}=\sqrt{3}Ue^{+j5\pi/6}$ (en avance de 30° et$\sqrt{3}$ le module des tensions simples) -
courants de ligne :
$\ub I_R$ ,$\ub I_S$ ,$\ub I_T$ avec un courant de retour$\ub I_N=\ub I_R+\ub I_S+\ub I_T$
- en étoile : 3 conducteurs de phase
-
charge triphasée équilibrée : trois impédances identiques appelées phases de l'utilisateur
-
en étoile :
$R$ ,$S$ ,$T$ connectés au même point chacun à travers leur impédance- tensions de phase = tensions simples :
$U_l=\sqrt{3}U_{ph}$ - courants de phase = courants de ligne :
$I_l=I_{ph}$ et$\ub U=\ub Z\ub I$ - ainsi pas nécessaire d'avoir un point neutre :
$\ub I_R+\ub I_S+\ub I_T=0$
- tensions de phase = tensions simples :
-
en triangle :
$R$ ,$S$ ,$T$ connectés entre eux à travers une impédance- tensions de phase = tensions de ligne :
$U_l=U_{ph}$ - courant de phase :
$I_l=\sqrt{3}I_{ph}$ et$\ub U=\ub Z\ub I$
- tensions de phase = tensions de ligne :
-
puissance : somme des phases avec
$p(t)=P=3U_{ph}I_{ph}\cos\phi$ (pas de composante pulsée et puissance instantanée = puissance active)$Q=3U_{ph}I_{ph}\sin\phi$ - puissance apparente :
$\ub S=3U_{ph}I_{ph}e^{j\phi}$ et$S=3U_{ph}I_{ph}$ - en générale :
$P_Y=\frac{1}{3}P_\Delta$ - tripôles équivalents et impédances égales :
$\ub Z_Y=\frac{1}{3}\ub Z_\Delta$
-
en étoile :
-
systèmes triphasés non symétriques : impédances non identiques
- en triangle : raisonnement par noeud
- en étoile : courant de retour non nul
- tension :
$\ub U_N=\ub Z_p\ub I_{N0}$ où$\frac{1}{\ub Z_p}=\frac{1}{\ub Z_1}+\frac{1}{\ub Z_2}+\frac{1}{\ub Z_3}+\frac{1}{\ub Z_N}$ et$\ub I_{N0}=\frac{\ub U_{RN}}{\ub Z_1}+\frac{\ub U_{SN}}{\ub Z_2}+\frac{\ub U_{TN}}{\ub Z_3}$
- tension :
- décomposition symétrique : un système non symétrique peut être décomposé en un système direct, un système inverse et un système homopolaire (1 branche)
- régime transitoire : variation brusque décrite par une équation différentielle linéaire à coefficients constants conduisant à un terme permanent (solution particulière) et un term transisoire (solution générale de l'équation homogène)
- comportement de la capacité : si la pulsion est
$0$ , le circuit est ouvert sinon si la pulsion est infinie, le circuit est un court circuit - lors d’un saut, la fréquence est infinie
-
saut de tension : interupteur
- résistance : saut répercuter sur courant selon loi d'Ohm
- inductance :
$i(t)=I_0+\frac{1}{L}\int_0^T u(t)\d t$ - capacité : pas possible
-
saut de courant : interupteur
- résistance : saut répercuter sur tension selon loi d'Ohm
- inductance : pas possible
- capacité :
$u(t)=U_0+\frac{1}{C}\int_0^T i(t)\d t$
-
réponse indicielle
-
$RC$ :$u=u_R+u_C$ et$i(t)=\frac{U-U_0}{R}e^{-t/RC}$ -
$RL$ :$u=u_R+u_L$ et$i(t)=\frac{U}{R}+(I_0-\frac{U}{R})e^{-\frac{R}{L}t}$ - enclenchement sur une source sinusoidale : seule la composante permanente est modifiée
$i_p(t)=\sqrt{2}\frac{U}{Z}\cos(\o t +\alpha-\phi)$ ainsi$i(t)=i_p(t)+i_h(t)=\sqrt{2}\frac{U}{Z}[\cos(\o t +\alpha-\phi)-\cos(\alpha-\phi)e^{-\frac{R}{L}t}]$
- enclenchement sur une source sinusoidale : seule la composante permanente est modifiée
-
$RLC$ :$L\frac{\d^2i}{\d t^2}+R\frac{\d i}{\d t}+\frac{i}{C}=0$ avec$\o_0=\frac{}{\sqrt{LC}}$ et$Q=\frac{\o_0L}{R}$ - régime pseudopériodique :
$\Delta<0\iff Q>1/2$ ainsi$i(t)=Ae^{-\frac{\o_0}{2Q}t}\cos(\o' t+\phi)$ où$\o'=\o_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$ - régime critique :
$\Delta=0\iff Q=1/2$ ainsi$i(t)=(A_1t+A_2)e^{-\o_0t}$ - régime apériodique :
$\Delta>0\iff Q< 1/2$ ainsi$i(t)=A_1 e^{X_+ t}+A_2 e^{X_- t}$
- régime pseudopériodique :
-
-
définition : élément de circuit à 4 bornes (2 entrées et 2 sorties)
- passif : inductances couplées, filtre passe-bas
-
matrice représentatives :
$\m{Y_1 \\ Y_2}=\m{Q_{11} & Q_{12} \\ Q_{21} & Q_{22}}\m{X_1 \\ X_2}$ - inversion : si
$ad-bc\not=0$ alors$\m{a & b \\ c & d}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\m{d & -b \\ -c & a}$
- inversion : si
-
matrice d'impédance :
$\m{\ub U_1 \\ \ub U_2}=\m{\ub Z_{11} & \ub Z_{12} \\ \ub Z_{21} & \ub Z_{22}}\m{\ub I_1 \\ \ub I_2}$ - détermination
$\ub Z_{11}=\frac{\ub U_1}{\ub I_1}|_{\ub I_2=0}$ $\ub Z_{21}=\frac{\ub U_2}{\ub I_1}|_{\ub I_2=0}$ $\ub Z_{12}=\frac{\ub U_1}{\ub I_2}|_{\ub I_1=0}$ $\ub Z_{22}=\frac{\ub U_2}{\ub I_2}|_{\ub I_1=0}$
- représentation équivalent en T :
$\ub Z_a=\ub Z_{11}-\ub Z_{12}$ ,$\ub Z_b=\ub Z_{22}-\ub Z_{12}$ ,$\ub Z_c=\ub Z_{12}$ et inversément$\m{\ub Z_a+\ub Z_c & \ub Z_c \\ \ub Z_c & \ub Z_b+\ub Z_c}$ - réciprocité : si linéaire et pas de sources dépendantes alors
$\ub Z_{12}=\ub Z_{21}$ - impédance d'entrée :
$\ub U_1=\ub Z_{11}\ub I_1+\ub Z_{12}\ub I_2$ et$\ub Z_E=\frac{\ub U_1}{\ub I_1}$ - impédance de sortie :
$\ub U_2=\ub Z_{21}\ub I_1+\ub Z_{22}\ub I_2$ et$\ub Z_S=\frac{\ub U_2}{\ub I_2}$ - gain en courant :
$\ub A_i=\frac{\ub I_2}{\ub I_1}$
- détermination
- matrice d'admittance
-
matrice de chaine (transmission) : relation entre les grandeurs de l'entrée et celles de la sortie
$\m{\ub U_1\\ \ub I_1}=\m{\ub A&\ub B\\ \ub C&\ub D}\m{\ub U_2\\ -\ub I_2}$ - détermination
$\ub A=\frac{\ub U_1}{\ub U_1}|_{\ub I_2=0}$ $\ub B=-\frac{\ub U_1}{\ub I_12}|_{\ub U_2=0}$ $\ub C=\frac{\ub I_1}{\ub U_2}|_{\ub I_2=0}$ $\ub D=-\frac{\ub I_1}{\ub I_2}|_{\ub U_2=0}$
- inverse :
$\m{\ub U_2\\ -\ub I_2}=\m{\ub D&-\ub B\\ -\ub C&\ub A}\m{\ub U_1\\ub I_1}$
- détermination
-
interconnexion de quadripoles
- en série : addition des impédances
- en parallèle : addition des admittances
- en cascade : multiplication des paramètres
- décomposition en sous-matrice
$2\sin^2 t = 1-\cos 2t$ $2\cos^2 x = 1+\cos 2x$ $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ $\tan^2 x +1=\frac{1}{\cos^2 x}$ $\cot^2 x +1=\frac{1}{\sin^2 x}$ $\sin 0 = \frac{1}{2}\sqrt{0} = \cos \pi/2 = 0$ -
$\sin \pi/6 = \frac{1}{2}\sqrt{1} = \cos \pi/3 = \frac{1}{2}$ $\sin \pi/4 =\frac{1}{2}\sqrt{2} = \cos \pi/4 =\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \pi/3 = \frac{1}{2}\sqrt{3} = \cos \pi/6=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin \pi/2 = \frac{1}{2}\sqrt{4} = \cos 0 = 1$ $\cosh z =\frac{e^z+e^{-z}}{2}$ $\sinh z =\frac{e^z-e^{-z}}{2}$ $\cos z =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cosh iz$ $\sin z =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\frac{\sinh iz}{i}$ $e^z=\cosh z +\sinh z=\cos z+i\sin z$ $e^{-z}=\cosh z -\sinh z$ $\cosh^2 z -\sinh^2 z = 1$ $\sin mx\cos nx=\frac{1}{2}[\sin (m+n)x + \sin (m-n)x]$ $\cos mx\cos nx=\frac{1}{2}[\cos (m+n)x + \cos (m-n)x]$ $\sin mx\sin nx=\frac{1}{2}[\sin (m-n)x - \cos (m-n)x]$