Curso en Teoría Algebraica de las Representaciones Mentales (90 créditos):

Primer Semestre

1. Fundamentos Avanzados de Álgebra para Ciencias Cognitivas (9 créditos)

Justificación: Proporciona una base matemática sólida y profunda necesaria para la modelización algebraica avanzada de procesos cognitivos complejos.

Temario:

1. Estructuras algebraicas fundamentales y avanzadas

   1.1. Grupos, anillos y cuerpos

   1.1.1. Teoremas de Sylow y aplicaciones en cognición

   1.1.2. Extensiones de cuerpos y su relevancia en representaciones mentales

   1.2. Espacios vectoriales y álgebras

   1.2.1. Espacios de Hilbert y su uso en modelos cognitivos cuánticos

   1.2.2. Álgebras de Clifford y su aplicación en representaciones espaciales

   1.3. Homomorfismos, isomorfismos y automorfismos

   1.3.1. Teorema de isomorfismo y su interpretación cognitiva

   1.3.2. Grupos de automorfismos y simetrías en estructuras mentales

2. Teoría avanzada de representaciones

   2.1. Representaciones lineales de grupos

   2.1.1. Teorema de Maschke y descomposición de representaciones cognitivas

   2.1.2. Representaciones inducidas y su papel en la formación de conceptos

   2.2. Caracteres y teoría de caracteres

   2.2.1. Tablas de caracteres y su uso en clasificación de estados mentales

   2.2.2. Productos tensoriales de caracteres y fusión conceptual

   2.3. Representaciones irreducibles y el teorema de Schur

   2.3.1. Lema de Schur y la atomicidad de los conceptos

   2.3.2. Teoría de Burnside y aplicaciones en dinámica cognitiva

3. Álgebras de Lie y sus representaciones en cognición

   3.1. Definición y propiedades básicas de álgebras de Lie

   3.1.1. Corchete de Lie y su interpretación en procesos mentales

   3.1.2. Identidad de Jacobi y consistencia en razonamiento

   3.2. Clasificación de álgebras de Lie simples y semisimples

   3.2.1. Sistemas de raíces y su relación con estructuras conceptuales

   3.2.2. Diagrama de Dynkin y jerarquías cognitivas

   3.3. Representaciones de álgebras de Lie

   3.3.1. Teorema de Ado y modelos finito-dimensionales de procesos mentales

   3.3.2. Módulos de Verma y desarrollo cognitivo

4 . Teoría avanzada de categorías

4.1. Categorías y funtores

  4.1.1. Categorías abelianas y procesos cognitivos lineales
  
  4.1.2. Funtores adjuntos y dualidad en cognición

4.2. Transformaciones naturales y equivalencias de categorías

  4.2.1. Lema de Yoneda y representabilidad de funciones cognitivas
  
  4.2.2. Monadas y procesamiento de información secuencial

4.3. Límites, colímites y construcciones universales

  4.3.1. Productos fibrados y fusión de información sensorial
  
  4.3.2. Cocientes y formación de conceptos abstractos

4.4. Categorías enriquecidas y teoría de 2-categorías

  4.4.1. Categorías métricas y espacios conceptuales
  
  4.4.2. Bicategorías y meta-cognición

Conceptos clave: Estructuras algebraicas avanzadas, teoría de representaciones, álgebras de Lie, teoría de categorías, aplicaciones cognitivas de estructuras algebraicas.

Bibliografía:

• Fulton, W., & Harris, J. (1991). Representation Theory: A First Course. Springer.
• Mac Lane, S. (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer.
• Humphreys, J. E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer.
• Awodey, S. (2010). Category Theory. Oxford University Press.

Calificación:

• Exámenes teóricos (30%)
• Resolución de problemas avanzados (25%)
• Proyecto de investigación (30%)
• Presentaciones en seminarios (10%)
• Participación en discusiones avanzadas (5%)

2. Modelos Algebraicos Avanzados de la Cognición (9 créditos)

Justificación: Profundiza en los principios y técnicas de modelización algebraica avanzada de procesos cognitivos complejos.

Temario:

1. Fundamentos avanzados de la representación mental algebraica

   1.1. Conceptos como elementos de álgebras abstractas

   1.1.1. Álgebras de conceptos y operaciones mentales

   1.1.2. Homomorfismos conceptuales y mapeo cognitivo

   1.2. Operaciones mentales como transformaciones algebraicas

   1.2.1. Grupos de transformaciones cognitivas

   1.2.2. Invariantes bajo transformaciones y esencias conceptuales

   1.3. Estructuras de conocimiento como variedades algebraicas

   1.3.1. Topología de espacios de conocimiento

   1.3.2. Cohomología y obstáculos al aprendizaje

2. Álgebra avanzada de la memoria

   2.1. Modelos tensoriales de la memoria semántica

   2.1.1. Descomposición tensorial y recuperación de información

   2.1.2. Productos tensoriales jerárquicos y estructuras de conocimiento

   2.2. Álgebras de Hopf en recuperación de información

   2.2.1. Coproducto y asociación de memorias

   2.2.2. Antípoda y corrección de errores en recuerdos

   2.3. Representaciones categoriales de la memoria episódica

   2.3.1. Funtores de olvido y retención

   2.3.2. Transformaciones naturales y evolución de recuerdos

3. Álgebra avanzada del razonamiento

   3.1. Lógicas algebraicas no clásicas y razonamiento no monotónico

   3.1.1. Álgebras de Heyting y razonamiento intuicionista

   3.1.2. Lógicas paraconsistentes y manejo de contradicciones

   3.2. Modelos categóricos del razonamiento inductivo

   3.2.1. Funtores de generalización y especialización

   3.2.2. Límites inductivos y formación de conceptos

   3.3. Álgebras de procesos en razonamiento paralelo

   3.3.1. Cálculo de procesos comunicantes en deliberación

   3.3.2. Pi-cálculo y movilidad de conceptos

4. Representaciones algebraicas avanzadas del lenguaje

   4.1. Gramáticas categoriales y composicionalidad

   4.1.1. Cálculo de Lambek y sintaxis algebraica

   4.1.2. Semántica de juegos y pragmática formal

   4.2. Semántica vectorial distribucional

   4.2.1. Espacios de palabras y composicionalidad tensorial

   4.2.2. Modelos cuánticos del significado

   4.3. Topos lingüísticos y semántica situacional

   4.3.1. Haces de significado y contexto

   4.3.2. Lógica interna de topos y ambigüedad lingüística

Conceptos clave: Representaciones mentales algebraicas avanzadas, modelos tensoriales de memoria, lógicas algebraicas no clásicas, gramáticas categoriales, semántica algebraica avanzada.

Bibliografía:

• Gärdenfors, P. (2000). Conceptual Spaces: The Geometry of Thought. MIT Press.
• Smolensky, P., & Legendre, G. (2006). The Harmonic Mind: From Neural Computation to Optimality-Theoretic Grammar. MIT Press.
• Coecke, B., Sadrzadeh, M., & Clark, S. (2010). Mathematical foundations for a compositional distributional model of meaning. arXiv preprint arXiv:1003.4394.
• Lambek, J. (1958). The mathematics of sentence structure. The American Mathematical Monthly, 65(3), 154-170.

Calificación:

• Proyecto de investigación avanzado (35%)
• Examen teórico comprensivo (25%)
• Serie de ensayos críticos (20%)
• Presentaciones de artículos de investigación (15%)
• Participación en seminarios avanzados (5%)

3. Teoría Avanzada de Categorías en Ciencia Cognitiva (9 créditos)

Justificación: Profundiza en la aplicación de la teoría de categorías avanzada a la modelización de procesos cognitivos complejos y estructuras mentales.

Temario:

1. Fundamentos categóricos avanzados para la cognición

   1.1. Objetos y morfismos en procesos mentales complejos

   1.1.1. 2-categorías y meta-cognición

   1.1.2. Categorías enriquecidas y gradación de procesos cognitivos

   1.2. Funtores como mapeos entre dominios cognitivos complejos

   1.2.1. Funtores derivados y abstracción cognitiva

   1.2.2. Monadas y procesamiento secuencial de información

   1.3. Transformaciones naturales y cambios conceptuales dinámicos

   1.3.1. Modificaciones y evolución de esquemas mentales

   1.3.2. Coherencia y consistencia en el cambio cognitivo

2. Categorías y conceptualización avanzada

3. 2.1. Teoría de prototipos desde una perspectiva categórica sofisticada

   2.1.1. Categorías difusas y conceptos con límites borrosos

   2.1.2. Funtores de prototipicalidad y estructuras de semejanza familiar

   2.2. Jerarquías conceptuales como categorías ordenadas complejas

   2.2.1. Retículos conceptuales y herencia múltiple

   2.2.2. Funtores de abstracción y concretización

   2.3. Fusión conceptual mediante construcciones categóricas avanzadas

   2.3.1. Productos fibrados y amalgamas conceptuales

   2.3.2. Pushouts y blending conceptual creativo

4. Procesos cognitivos como funtores y transformaciones naturales

5. 3.1. Percepción como funtor entre categorías sensoriales y conceptuales

   3.1.1. Funtores de percepción multisensorial

   3.1.2. Transformaciones naturales y adaptación perceptual

   3.2. Aprendizaje como transformación natural entre funtores cognitivos

   3.2.1. Categorías de modelos de aprendizaje

   3.2.2. Modificaciones y evolución de estrategias de aprendizaje

   3.3. Razonamiento analógico en términos categóricos avanzados

   3.3.1. Funtores de analogía y preservación estructural

   3.3.2. Adjunciones y bidireccionalidad en razonamiento analógico

6. Topoi y lógica intuicionista avanzada en cognición

   4.1. Lógica interna de un topos y razonamiento humano no clásico

   4.1.1. Objeto de verdad y valores de verdad intermedios

   4.1.2. Negación intuicionista y razonamiento por contraejemplos

   4.2. Semántica de Kripke-Joyal y modelos mentales sofisticados

   4.2.1. Haces de creencias y conocimiento contextual

   4.2.2. Cohomología de haces y obstáculos epistémicos

   4.3. Teoría de haces avanzada y integración de información sensorial compleja

   4.3.1. Haces de percepciones multimodales

   4.3.2. Secciones globales y coherencia perceptual

Conceptos clave: Teoría avanzada de categorías, 2-categorías, categorías enriquecidas, funtores derivados, monadas, topoi, lógica intuicionista avanzada, teoría de haces en cognición.

Bibliografía:

• Lawvere, F. W., & Schanuel, S. H. (2009). Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge University Press.
• Lambek, J., & Scott, P. J. (1986). Introduction to Higher-Order Categorical Logic. Cambridge University Press.
• Healy, M. J., & Caudell, T. P. (2006). Ontologies and Worlds in Category Theory: Implications for Neural Systems. Axiomathes, 16(1-2), 165-214.
• Goguen, J. A. (1991). A Categorical Manifesto. Mathematical Structures in Computer Science, 1(1), 49-67.

Calificación:

• Proyecto de investigación avanzado en modelado categórico (35%)
• Examen teórico comprehensivo (25%)
• Serie de ensayos críticos sobre aplicaciones avanzadas (20%)
• Presentaciones de artículos de investigación de vanguardia (15%)
• Participación en seminarios de discusión avanzada (5%)

4. Álgebras de Procesos Avanzadas en Cognición (9 créditos)

Justificación: Profundiza en el uso de álgebras de procesos avanzadas para modelar la dinámica compleja de los procesos cognitivos y sus interacciones.

Temario:

1. Fundamentos avanzados de álgebras de procesos 1.1. Cálculo de procesos comunicantes (CCS) y sus extensiones 1.1.1. CCS probabilístico y razonamiento bajo incertidumbre 1.1.2. CCS temporal y dinámica de procesos mentales 1.2. Álgebra de procesos comunicantes (ACP) y razonamiento paralelo 1.2.1. Axiomatización de procesos cognitivos paralelos 1.2.2. Verificación formal de propiedades cognitivas 1.3. Pi-cálculo avanzado y movilidad en estructuras cognitivas 1.3.1. Pi-cálculo de orden superior y meta-cognición 1.3.2. Pi-cálculo estocástico y fluctuaciones cognitivas
2. Modelado avanzado de procesos cognitivos concurrentes 2.1. Teoría de la concurrencia en atención dividida y multitarea 2.1.1. Entrelazamiento de procesos atencionales 2.1.2. Detección y resolución de conflictos cognitivos 2.2. Procesamiento paralelo avanzado en percepción multimodal 2.2.1. Sincronización de flujos sensoriales heterogéneos 2.2.2. Fusión de información en presencia de ruido e incertidumbre 2.3. Interacción compleja entre sistemas de memoria 2.3.1. Protocolos de comunicación entre memoria de trabajo y largo plazo 2.3.2. Consolidación y reconsolidación como procesos concurrentes
3. Sincronización y comunicación avanzada en procesos mentales 3.1. Teoría de la información cuántica en integración sensorial 3.1.1. Entrelazamiento cuántico y binding problem 3.1.2. Decoherencia y emergencia de la experiencia clásica 3.2. Coordinación en tareas cognitivas de alto nivel 3.2.1. Coreografías de procesos en resolución de problemas complejos 3.2.2. Orquestación de funciones ejecutivas 3.3. Sincronización neuronal y teorías de la conciencia 3.3.1. Oscilaciones neuronales como procesos comunicantes 3.3.2. Integración de información y teoría del espacio de trabajo global
4. Verificación formal avanzada de modelos cognitivos 4.1. Lógicas temporales y epistémicas para propiedades cognitivas complejas 4.1.1. CTL* y razonamiento sobre futuros alternativos 4.1.2. Lógica epistémica dinámica y actualización de creencias 4.2. Model checking de procesos mentales no deterministas 4.2.1. Verificación simbólica de modelos cognitivos a gran escala 4.2.2. Técnicas de abstracción para estados mentales 4.3. Análisis de deadlock y livelock en sistemas cognitivos complejos 4.3.1. Detección de bloqueos cognitivos y bucles de pensamiento 4.3.2. Estrategias de recuperación y resiliencia cognitiva

Conceptos clave: Álgebras de procesos avanzadas, concurrencia cognitiva compleja, sincronización mental sofisticada, verificación formal de modelos cognitivos no deterministas.

Bibliografía:

• Milner, R. (1999). Communicating and Mobile Systems: The Pi-Calculus. Cambridge University Press.
• Baeten, J. C. M., & Weijland, W. P. (1990). Process Algebra. Cambridge University Press.
• Sangiorgi, D., & Walker, D. (2003). The π-calculus: A Theory of Mobile Processes. Cambridge University Press.
• Clarke, E. M., Grumberg, O., & Peled, D. A. (1999). Model Checking. MIT Press.

Calificación:

• Proyecto avanzado de modelado de procesos cognitivos (35%)
• Examen teórico-práctico comprehensivo (25%)
• Implementación y análisis de simulaciones complejas (20%)
• Presentación y defensa de un paper de investigación original (15%)
• Participación en seminarios y discusiones avanzadas (5%)

3. Teoría Avanzada de Categorías en Ciencia Cognitiva (9 créditos)

Justificación: Profundiza en la aplicación de la teoría de categorías avanzada a la modelización de procesos cognitivos complejos y estructuras mentales.

Temario:

1. Fundamentos categóricos avanzados para la cognición 1.1. Objetos y morfismos en procesos mentales complejos 1.1.1. 2-categorías y meta-cognición 1.1.2. Categorías enriquecidas y gradación de procesos cognitivos 1.2. Funtores como mapeos entre dominios cognitivos complejos 1.2.1. Funtores derivados y abstracción cognitiva 1.2.2. Monadas y procesamiento secuencial de información 1.3. Transformaciones naturales y cambios conceptuales dinámicos 1.3.1. Modificaciones y evolución de esquemas mentales 1.3.2. Coherencia y consistencia en el cambio cognitivo
2. Categorías y conceptualización avanzada 2.1. Teoría de prototipos desde una perspectiva categórica sofisticada 2.1.1. Categorías difusas y conceptos con límites borrosos 2.1.2. Funtores de prototipicalidad y estructuras de semejanza familiar 2.2. Jerarquías conceptuales como categorías ordenadas complejas 2.2.1. Retículos conceptuales y herencia múltiple 2.2.2. Funtores de abstracción y concretización 2.3. Fusión conceptual mediante construcciones categóricas avanzadas 2.3.1. Productos fibrados y amalgamas conceptuales 2.3.2. Pushouts y blending conceptual creativo
3. Procesos cognitivos como funtores y transformaciones naturales 3.1. Percepción como funtor entre categorías sensoriales y conceptuales 3.1.1. Funtores de percepción multisensorial 3.1.2. Transformaciones naturales y adaptación perceptual 3.2. Aprendizaje como transformación natural entre funtores cognitivos 3.2.1. Categorías de modelos de aprendizaje 3.2.2. Modificaciones y evolución de estrategias de aprendizaje 3.3. Razonamiento analógico en términos categóricos avanzados 3.3.1. Funtores de analogía y preservación estructural 3.3.2. Adjunciones y bidireccionalidad en razonamiento analógico
4. Topoi y lógica intuicionista avanzada en cognición 4.1. Lógica interna de un topos y razonamiento humano no clásico 4.1.1. Objeto de verdad y valores de verdad intermedios 4.1.2. Negación intuicionista y razonamiento por contraejemplos 4.2. Semántica de Kripke-Joyal y modelos mentales sofisticados 4.2.1. Haces de creencias y conocimiento contextual 4.2.2. Cohomología de haces y obstáculos epistémicos 4.3. Teoría de haces avanzada y integración de información sensorial compleja 4.3.1. Haces de percepciones multimodales 4.3.2. Secciones globales y coherencia perceptual

Conceptos clave: Teoría avanzada de categorías, 2-categorías, categorías enriquecidas, funtores derivados, monadas, topoi, lógica intuicionista avanzada, teoría de haces en cognición.

Bibliografía:

• Lawvere, F. W., & Schanuel, S. H. (2009). Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge University Press.
• Lambek, J., & Scott, P. J. (1986). Introduction to Higher-Order Categorical Logic. Cambridge University Press.
• Healy, M. J., & Caudell, T. P. (2006). Ontologies and Worlds in Category Theory: Implications for Neural Systems. Axiomathes, 16(1-2), 165-214.
• Goguen, J. A. (1991). A Categorical Manifesto. Mathematical Structures in Computer Science, 1(1), 49-67.

Calificación:

• Proyecto de investigación avanzado en modelado categórico (35%)
• Examen teórico comprehensivo (25%)
• Serie de ensayos críticos sobre aplicaciones avanzadas (20%)
• Presentaciones de artículos de investigación de vanguardia (15%)
• Participación en seminarios de discusión avanzada (5%)

4. Álgebras de Procesos Avanzadas en Cognición (9 créditos)

Justificación: Profundiza en el uso de álgebras de procesos avanzadas para modelar la dinámica compleja de los procesos cognitivos y sus interacciones.

Temario:

1. Fundamentos avanzados de álgebras de procesos 1.1. Cálculo de procesos comunicantes (CCS) y sus extensiones 1.1.1. CCS probabilístico y razonamiento bajo incertidumbre 1.1.2. CCS temporal y dinámica de procesos mentales 1.2. Álgebra de procesos comunicantes (ACP) y razonamiento paralelo 1.2.1. Axiomatización de procesos cognitivos paralelos 1.2.2. Verificación formal de propiedades cognitivas 1.3. Pi-cálculo avanzado y movilidad en estructuras cognitivas 1.3.1. Pi-cálculo de orden superior y meta-cognición 1.3.2. Pi-cálculo estocástico y fluctuaciones cognitivas
2. Modelado avanzado de procesos cognitivos concurrentes 2.1. Teoría de la concurrencia en atención dividida y multitarea 2.1.1. Entrelazamiento de procesos atencionales 2.1.2. Detección y resolución de conflictos cognitivos 2.2. Procesamiento paralelo avanzado en percepción multimodal 2.2.1. Sincronización de flujos sensoriales heterogéneos 2.2.2. Fusión de información en presencia de ruido e incertidumbre 2.3. Interacción compleja entre sistemas de memoria 2.3.1. Protocolos de comunicación entre memoria de trabajo y largo plazo 2.3.2. Consolidación y reconsolidación como procesos concurrentes
3. Sincronización y comunicación avanzada en procesos mentales 3.1. Teoría de la información cuántica en integración sensorial 3.1.1. Entrelazamiento cuántico y binding problem 3.1.2. Decoherencia y emergencia de la experiencia clásica 3.2. Coordinación en tareas cognitivas de alto nivel 3.2.1. Coreografías de procesos en resolución de problemas complejos 3.2.2. Orquestación de funciones ejecutivas 3.3. Sincronización neuronal y teorías de la conciencia 3.3.1. Oscilaciones neuronales como procesos comunicantes 3.3.2. Integración de información y teoría del espacio de trabajo global
4. Verificación formal avanzada de modelos cognitivos 4.1. Lógicas temporales y epistémicas para propiedades cognitivas complejas 4.1.1. CTL* y razonamiento sobre futuros alternativos 4.1.2. Lógica epistémica dinámica y actualización de creencias 4.2. Model checking de procesos mentales no deterministas 4.2.1. Verificación simbólica de modelos cognitivos a gran escala 4.2.2. Técnicas de abstracción para estados mentales 4.3. Análisis de deadlock y livelock en sistemas cognitivos complejos 4.3.1. Detección de bloqueos cognitivos y bucles de pensamiento 4.3.2. Estrategias de recuperación y resiliencia cognitiva

Conceptos clave: Álgebras de procesos avanzadas, concurrencia cognitiva compleja, sincronización mental sofisticada, verificación formal de modelos cognitivos no deterministas.

Bibliografía:

• Milner, R. (1999). Communicating and Mobile Systems: The Pi-Calculus. Cambridge University Press.
• Baeten, J. C. M., & Weijland, W. P. (1990). Process Algebra. Cambridge University Press.
• Sangiorgi, D., & Walker, D. (2003). The π-calculus: A Theory of Mobile Processes. Cambridge University Press.
• Clarke, E. M., Grumberg, O., & Peled, D. A. (1999). Model Checking. MIT Press.

Calificación:

• Proyecto avanzado de modelado de procesos cognitivos (35%)
• Examen teórico-práctico comprehensivo (25%)
• Implementación y análisis de simulaciones complejas (20%)
• Presentación y defensa de un paper de investigación original (15%)
• Participación en seminarios y discusiones avanzadas (5%)

Continuación del programa del Máster en Teoría Algebraica de las Representaciones Mentales:

Segundo Semestre

5. Teoría Avanzada de Representaciones en Neurociencia Computacional (9 créditos)

Justificación: Profundiza en la aplicación de teorías de representaciones algebraicas avanzadas al estudio de redes neuronales complejas y procesos cerebrales de alto nivel.

Temario:

1. Representaciones neuronales como espacios vectoriales de dimensión infinita 1.1. Teoría de marcos (frames) en codificación neuronal 1.1.1. Marcos de Gabor y representación de información visual 1.1.2. Marcos wavelet y procesamiento jerárquico de información 1.2. Análisis funcional aplicado a poblaciones neuronales 1.2.1. Espacios de Hilbert de actividad neuronal 1.2.2. Operadores compactos y memoria asociativa 1.3. Teoría de representación de grupos en invarianza perceptual 1.3.1. Representaciones unitarias y conservación de información 1.3.2. Descomposición de Fourier no conmutativa en procesamiento sensorial
2. Grupos y álgebras de Lie en dinámica neuronal y cognitiva 2.1. Teoría de control geométrico en redes neuronales 2.1.1. Sistemas de control en álgebras de Lie y planificación motora 2.1.2. Conexiones principales y aprendizaje invariante 2.2. Grupos de Lie en neurociencia computacional avanzada 2.2.1. SO(3) y SE(3) en representación de rotaciones y movimientos 2.2.2. Grupos simplécticos y dinámica de poblaciones neuronales 2.3. Variedades flag y jerarquías de representaciones corticales 2.3.1. Grassmannianas y subespacios neuronales adaptativos 2.3.2. Variedades de Schubert y competencia entre representaciones
3. Teoría de categorías en organización neuronal 3.1. Categorías neuronales y procesamiento de información 3.1.1. Funtores entre modalidades sensoriales 3.1.2. Transformaciones naturales y plasticidad sináptica 3.2. Topos neurales y lógica interna del cerebro 3.3.1. Haces neuronales y campos receptivos 3.3.2. Cohomología de haces y detección de características globales
4. Métodos algebraicos avanzados en aprendizaje y plasticidad 4.1. Teoría de representaciones y aprendizaje profundo 4.1.1. Redes neuronales equivariantes y simetrías del problema 4.1.2. Análisis de representaciones en capas ocultas 4.2. Álgebras graduadas y aprendizaje jerárquico 4.2.1. Álgebras de Hopf en consolidación de memoria 4.2.2. Cohomología y barreras de aprendizaje

Conceptos clave: Teoría de marcos neuronales, análisis funcional en neurociencia, grupos de Lie en cognición, topos neurales, representaciones equivariantes en aprendizaje profundo.

Bibliografía:

• Mallat, S. (1999). A Wavelet Tour of Signal Processing. Academic Press.
• Doya, K., Ishii, S., Pouget, A., & Rao, R. P. (Eds.). (2007). Bayesian Brain: Probabilistic Approaches to Neural Coding. MIT Press.
• Marsden, J. E., & Ratiu, T. S. (1999). Introduction to Mechanics and Symmetry. Springer.
• Cohen, T. S., & Welling, M. (2016). Group Equivariant Convolutional Networks. Proceedings of the 33rd International Conference on Machine Learning.

Calificación:

• Proyecto de investigación avanzado (35%)
• Examen teórico comprehensivo (25%)
• Serie de ensayos críticos sobre aplicaciones de vanguardia (20%)
• Presentación y defensa de un artículo científico original (15%)
• Participación en seminarios de investigación avanzada (5%)

6. Lógicas Algebraicas Avanzadas y Razonamiento Complejo (9 créditos)

Justificación: Explora en profundidad la conexión entre estructuras algebraicas avanzadas y sistemas lógicos sofisticados en el contexto del razonamiento humano de alto nivel.

Temario:

1. Álgebras de Boole completas y razonamiento infinitario 1.1. Teoría de conjuntos y fundamentos del razonamiento matemático 1.1.1. Axioma de elección y razonamiento no constructivo 1.1.2. Grandes cardinales y límites del razonamiento humano 1.2. Lógicas infinitarias y procesos cognitivos de largo plazo 1.2.1. Lógica Lω1ω y conceptos de complejidad infinita 1.2.2. Juegos infinitos y estrategias cognitivas de largo plazo
2. Álgebras de Heyting y lógica intuicionista avanzada 2.1. Topos y semántica de Kripke-Joyal en razonamiento humano 2.1.1. Objeto de verdad y grados de certeza en cognición 2.1.2. Negación intuicionista y razonamiento por contraejemplos 2.2. Lógica lineal y recursos cognitivos 2.2.1. Conectivas multiplicativas y gestión de atención 2.2.2. Modalidades exponenciales y memoria de trabajo
3. Lógicas multivaluadas avanzadas y razonamiento aproximado 3.1. Álgebras MV y lógica de Łukasiewicz infinito-valuada 3.1.1. Funciones McNaughton y representación de conceptos vagos 3.1.2. Integral de Choquet y toma de decisiones bajo incertidumbre 3.2. Lógica difusa tipo-2 y meta-incertidumbre 3.2.1. Conjuntos difusos intervalo-valuados y ambigüedad conceptual 3.2.2. Sistemas de inferencia difusa tipo-2 y razonamiento con incertidumbre de segundo orden
4. Álgebras relacionales y razonamiento espacio-temporal avanzado 4.1. Cálculo de relaciones en razonamiento cualitativo complejo 4.1.1. Álgebras de composición y razonamiento espacial jerárquico 4.1.2. Redes de restricciones y planificación espacio-temporal 4.2. Lógicas temporales ramificadas y razonamiento sobre futuros alternativos 4.2.1. CTL* y modelado de procesos de decisión 4.2.2. Lógica temporal estratégica y teoría de juegos cognitivos

Conceptos clave: Lógicas infinitarias, topos en razonamiento, lógica lineal, lógica multivaluada avanzada, razonamiento espacio-temporal cualitativo.

Bibliografía:

• Johnstone, P. T. (2002). Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. Oxford University Press.
• Girard, J. Y. (1987). Linear Logic. Theoretical Computer Science, 50(1), 1-101.
• Cignoli, R. L., d'Ottaviano, I. M., & Mundici, D. (2000). Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Springer.
• van Benthem, J., & Blackburn, P. (2006). Modal Logic: A Semantic Perspective. In Handbook of Modal Logic (pp. 1-84). Elsevier.

Calificación:

• Proyecto de investigación en lógicas avanzadas aplicadas a cognición (35%)
• Examen teórico comprehensivo (25%)
• Serie de ensayos sobre sistemas lógicos no clásicos en razonamiento (20%)
• Presentación y defensa de una propuesta de investigación original (15%)
• Participación en seminarios avanzados y grupos de discusión (5%)

7. Teoría Avanzada de Topos y Modelos Mentales Complejos (9 créditos)

Justificación: Profundiza en la teoría de topos como marco unificador sofisticado para la representación de estructuras mentales complejas y procesos cognitivos de alto nivel.

Temario:

1. Fundamentos avanzados de la teoría de topos 1.1. Topos de Grothendieck y cognición contextual 1.1.1. Sitios y topologías de Grothendieck en percepción 1.1.2. Haces y localización de información cognitiva 1.2. Lógica interna de topos y razonamiento no clásico 1.2.1. Objeto de verdad y grados de certeza cognitiva 1.2.2. Cuantificadores dependientes y razonamiento contextual 1.3. Topoi elementales y modelos de teoría de tipos 1.3.1. Teoría de tipos dependientes y estructuras conceptuales 1.3.2. Teoría homotópica de tipos y cognición espacial
2. Topos como modelos avanzados de espacios conceptuales 2.1. Objetos y morfismos en categorías de conceptos 2.1.1. Subobject classifier y procesos de categorización 2.1.2. Exponenciales y conceptos de orden superior 2.2. Productos fibrados y fusión conceptual avanzada 2.2.1. Pullbacks y integración de información multimodal 2.2.2. Límites y colímites en formación de conceptos complejos 2.3. Topoi 2-dimensionales y meta-cognición 2.3.1. 2-morfismos y transformaciones entre procesos cognitivos 2.3.2. Adjunciones 2-dimensionales y dualidades cognitivas
3. Semántica de Kripke-Joyal avanzada y modelos mentales dinámicos 3.1. Haces de mundos posibles y razonamiento contrafactual 3.1.1. Topos de haces sobre espacios de Kripke 3.1.2. Modalidades epistémicas y doxásticas en topos 3.2. Evolución temporal de creencias y conocimientos 3.2.1. Funtores geométricos y actualización de creencias 3.2.2. Cohomología y obstáculos al aprendizaje
4. Teoría de haces avanzada e integración de información compleja 4.1. Haces de percepciones y construcción de la realidad 4.1.1. Cohomología de haces y detección de inconsistencias globales 4.1.2. Espectros y localización de información perceptual 4.2. Topos de motivos y abstracción cognitiva 4.2.1. Categorías derivadas y procesamiento de información temporal 4.2.2. K-teoría y estabilidad de representaciones mentales

Conceptos clave: Topos de Grothendieck, lógica interna avanzada, teoría homotópica de tipos, semántica de Kripke-Joyal sofisticada, cohomología de haces en cognición.

Bibliografía:

• Mac Lane, S., & Moerdijk, I. (1992). Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory. Springer.
• Lambek, J., & Scott, P. J. (1986). Introduction to Higher Order Categorical Logic. Cambridge University Press.
• Awodey, S. (2010). Category Theory. Oxford University Press.
• Univalent Foundations Program. (2013). Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. Institute for Advanced Study.

Calificación:

• Proyecto de investigación avanzado en aplicaciones de teoría de topos (35%)
• Examen teórico comprehensivo (25%)
• Serie de ensayos sobre tópicos avanzados en topos y cognición (20%)
• Presentación y defensa de una propuesta de investigación original (15%)
• Participación en seminarios de investigación de vanguardia (5%)

8. Trabajo Fin de Máster (18 créditos)

Justificación: Permite al estudiante aplicar en profundidad los conocimientos y habilidades adquiridos en un proyecto de investigación original y sustancial en el campo de la teoría algebraica avanzada de las representaciones mentales.

Temario:

1. Planteamiento del problema de investigación avanzado 1.1. Revisión crítica y exhaustiva de la literatura relevante 1.2. Formulación de hipótesis o preguntas de investigación innovadoras 1.3. Diseño metodológico sofisticado
2. Desarrollo del modelo algebraico avanzado 2.1. Selección y justificación de estructuras algebraicas complejas 2.2. Formalización matemática rigurosa del modelo 2.3. Implementación computacional avanzada (si es aplicable)
3. Análisis y validación del modelo sofisticado 3.1. Evaluación teórica profunda del modelo 3.2. Simulaciones o experimentos complejos (si es aplicable) 3.3. Comparación exhaustiva con datos empíricos o modelos existentes
4. Interpretación y discusión de resultados avanzados 4.1. Análisis de las implicaciones teóricas profundas del modelo 4.2. Discusión detallada de limitaciones y posibles extensiones 4.3. Elaboración de propuestas sustanciales para investigación futura
5. Redacción y presentación del trabajo a nivel de publicación 5.1. Elaboración de una memoria escrita de calidad publicable 5.2. Preparación de una presentación oral de nivel conferencia 5.3. Defensa del trabajo ante un tribunal de expertos en el campo

Conceptos clave: Investigación original avanzada, modelado algebraico sofisticado, validación rigurosa de modelos complejos, interpretación profunda de resultados.

Bibliografía: Específica y actualizada según el tema de investigación elegido.

Calificación:

• Memoria escrita (40%)
• Presentación y defensa oral (25%)
• Proceso de investigación y tutorías (20%)
• Originalidad y contribución al campo (15%)