style(huffman-tree.md): optimize

docs/ds/huffman-tree.md

@@ -37,32 +37,30 @@ $$
 
 ### 正确性证明
 
-**引理**: 最优前缀编码树（Huffman 树）中的权值最小的两个叶结点总是最深的叶结点，并且将这两个结点调整为兄弟结点至少不会破坏编码树的最优性。
+???+ note "引理"
+    最优前缀编码树（Huffman 树）中的权值最小的两个叶结点总是最深的叶结点，并且将这两个结点调整为兄弟结点至少不会破坏编码树的最优性。
 
-**证明**:
-
-我们采用反证法来证明该命题。假设在一棵最优前缀编码树中，存在两个权值最小的叶结点，它们不是最深的叶结点。设这两个结点为 $a$ 和 $b$，且它们的深度小于某个最深的叶结点。对于这个最深的叶结点 $c$，我们可以将 $a$ 和 $c$ 交换位置，或将 $b$ 和 $c$ 交换位置。由于 Huffman 算法保证树的每一层按权值最小的叶结点合并，因此在交换后，树的带权路径长度（WPL）将减少。由此矛盾可得出假设不成立，因此权值最小的两个叶结点必须是最深的叶结点。
-
-接下来，假设这两个权值最小的叶结点分别为 $a$ 和 $b$，它们的深度相同。如果在一棵最优前缀编码树中这两个结点不是兄弟结点，假设存在其他结点 $c$ 和 $d$ 与 $a$ 和 $b$ 分别是兄弟结点（假设 $a$ 和 $c$ 是兄弟结点，$b$ 和 $d$ 是兄弟结点）。我们可以将 $a$ 和 $b$ 合并为一个子树。
-
--   如果 $a$ 和 $b$ 合并后的权值之和小于 $c$ 或 $d$ 的权值，那么我们可以将合并后的子树与权值较大的结点（如 $c$ 或 $d$）合并，形成新的子树，WPL 会减少。
--   如果 $a$ 和 $b$ 的权值之和不小于 $c$ 和 $d$ 的权值，我们可以直接将 $a$ 和 $b$ 调整为兄弟结点，$c$ 和 $d$ 作为另一个兄弟结点，WPL 不会增加。
-
-因此，经过这样的调整，最优性不会被破坏，得证。
-
-**定理**: Huffman 算法得到的前缀编码树是最优前缀编码树。
-
-**证明**:
-
-我们使用数学归纳法来证明该定理。
-
--   **基本情况**: 当字母数 $n = 2$ 时，显然，直接将两个字母合并成一棵树即为最优编码树。
-
--   **归纳假设**: 假设对于字母数 $n = k$（$k \geq 2$）时，Huffman 算法能够得到最优前缀编码树。
+??? note "证明"
+    我们采用反证法来证明该命题。假设在一棵最优前缀编码树中，存在两个权值最小的叶结点，它们不是最深的叶结点。设这两个结点为 $a$ 和 $b$，且它们的深度小于某个最深的叶结点。对于这个最深的叶结点 $c$，我们可以将 $a$ 和 $c$ 交换位置，或将 $b$ 和 $c$ 交换位置。由于 Huffman 算法保证树的每一层按权值最小的叶结点合并，因此在交换后，树的带权路径长度（WPL）将减少。由此矛盾可得出假设不成立，因此权值最小的两个叶结点必须是最深的叶结点。
+
+    接下来，假设这两个权值最小的叶结点分别为 $a$ 和 $b$，它们的深度相同。如果在一棵最优前缀编码树中这两个结点不是兄弟结点，假设存在其他结点 $c$ 和 $d$ 与 $a$ 和 $b$ 分别是兄弟结点（假设 $a$ 和 $c$ 是兄弟结点，$b$ 和 $d$ 是兄弟结点）。我们可以将 $a$ 和 $b$ 合并为一个子树。
+
+    -   如果 $a$ 和 $b$ 合并后的权值之和小于 $c$ 或 $d$ 的权值，那么我们可以将合并后的子树与权值较大的结点（如 $c$ 或 $d$）合并，形成新的子树，WPL 会减少。
+    -   如果 $a$ 和 $b$ 的权值之和不小于 $c$ 和 $d$ 的权值，我们可以直接将 $a$ 和 $b$ 调整为兄弟结点，$c$ 和 $d$ 作为另一个兄弟结点，WPL 不会增加。
+
+    因此，经过这样的调整，最优性不会被破坏，得证。
 
--   **归纳步骤**: 对于字母数 $n = k + 1$，我们从 $k+1$ 个字母中选出两个权值最小的字母，将它们合并为一棵子树，子树的根作为虚拟字母（虚拟结点）。根据引理可知，这一操作不会破坏前缀编码树的最优性。此时，虚拟字母与剩下的 $k$ 个字母一同构成 $k + 1$ 个字母，根据归纳假设，当字母数为 $k$ 时，Huffman 算法能够得到最优前缀编码树。
+???+ note "定理"
+    Huffman 算法得到的前缀编码树是最优前缀编码树。
 
-因此，通过数学归纳法，Huffman 算法对于任意字母数 $n$ 都能够得到最优前缀编码树，得证。
+??? note "证明"
+    我们使用数学归纳法来证明该定理。
+
+    -   **基本情况**: 当字母数 $n = 2$ 时，显然，直接将两个字母合并成一棵树即为最优编码树。
+    -   **归纳假设**: 假设对于字母数 $n = k$（$k \geq 2$）时，Huffman 算法能够得到最优前缀编码树。
+    -   **归纳步骤**: 对于字母数 $n = k + 1$，我们从 $k+1$ 个字母中选出两个权值最小的字母，将它们合并为一棵子树，子树的根作为虚拟字母（虚拟结点）。根据引理可知，这一操作不会破坏前缀编码树的最优性。此时，虚拟字母与剩下的 $k$ 个字母一同构成 $k + 1$ 个字母，根据归纳假设，当字母数为 $k$ 时，Huffman 算法能够得到最优前缀编码树。
+
+    因此，通过数学归纳法，Huffman 算法对于任意字母数 $n$ 都能够得到最优前缀编码树，得证。
 
 ## 霍夫曼编码