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CALCOLO ALTEZZA DA MISURE DI ACCELERAZIONE

L'accelerazione netta può essere calcolata come:

$$a = g \left( \frac{P_s}{P_0} - 1 \right)$$

Dove:

$$P_s​$$ è la forza totale misurata durante il salto.

$$P_0$$ è la forza a riposo (peso statico dell'atleta).

La tara della pedana è già inclusa nel calcolo del peso statico $$P_0$$​, quindi non serve sottrarre una massa separata come $$m_t$$.

Se tara e peso dell'atleta vengono campionati nello stesso momento e con lo stesso sistema, l'errore relativo associato a queste misure si cancella nei calcoli che utilizzano differenze relative.

Vediamo perché questo accade.

Errore Relativo nelle Misure della Pedana

Errore Relativo: Tara e Peso Statico

1. Errore relativo costante ($\varepsilon$) nel sistema:

$$T_{misurata} = T \cdot (1 + \varepsilon)$$ $$F_{0,misurato} = F_0 \cdot (1 + \varepsilon)$$ $$F_{s,misurato} = F_s \cdot (1 + \varepsilon)$$

Calcolo dell'Accelerazione

Formula base: $$a = g \cdot \left( \frac{F_s - F_0}{F_0} \right)$$

Con valori misurati: $$a_{misurata} = g \cdot \left( \frac{F_{s,misurato} - F_{0,misurato}}{F_{0,misurato}} \right)$$

Sostituendo le espressioni: $$a_{misurata} = g \cdot \left( \frac{F_s \cdot (1 + \varepsilon) - F_0 \cdot (1 + \varepsilon)}{F_0 \cdot (1 + \varepsilon)} \right)$$

Semplificando: $$a_{misurata} = g \cdot \left( \frac{(F_s - F_0) \cdot (1 + \varepsilon)}{F_0 \cdot (1 + \varepsilon)} \right)$$ $$a_{misurata} = g \cdot \left( \frac{F_s - F_0}{F_0} \right)$$

Implicazioni

1. Robustezza: L'errore relativo costante si cancella nel calcolo
2. Calibrazione: Rimane importante per errori non relativi (drift, bias)
3. Precisione: Sistema valido con precisione relativa accettabile

Accelerazione

Ma con una pedana in realtà misuro l'accelerazione della pedana o quella dell'atleta? Integrandola trovo la velocità iniziale che invece è uguale per entrambi, pedana e atleta?

La risposta è che una pedana misura la forza applicata su di essa, e quindi, indirettamente, l'accelerazione della pedana stessa. Tuttavia, con alcune considerazioni, possiamo ottenere l'accelerazione e la velocità dell'atleta, dato che il sistema pedana-atleta è interconnesso durante il salto.

Vediamo passo passo come funziona il ragionamento e perché la velocità iniziale è effettivamente condivisa tra atleta e pedana al momento del distacco.

Relazione tra Accelerazione Pedana e Atleta

L'accelerazione della pedana ($a_{pedana}$) non coincide con quella dell'atleta ($a_{atleta}$), ma i movimenti sono correlati.

Velocità al Distacco

Al momento del distacco:

• L'atleta smette di esercitare forza sulla pedana
• La pedana si ferma, l'atleta continua il moto ascendente

Fino al distacco, le velocità sono identiche per il vincolo di contatto:

$$v_{\text{iniziale, atleta}} = v_{\text{pedana al distacco}}$$

La velocità iniziale dell'atleta può quindi essere calcolata integrando la forza misurata dalla pedana nel tempo.

Integrazione dell'Accelerazione Relativa

1. Accelerazione relativa della pedana

$$a_{\text{relativa}}(t) = \frac{F_{\text{pedana}}(t) - F_{\text{statico}}}{F_{\text{statico}}} \cdot g$$

Dove:

• $F_{\text{pedana}}(t)$: Forza misurata dalla pedana nel tempo
• $F_{\text{statico}}$: Forza statica (peso dell'atleta)
• $g$: Accelerazione di gravità

2. Integrazione dell'accelerazione relativa

Velocità relativa: $$v_{\text{relativa}}(t) = \int_{t_0}^{t_{\text{distacco}}} a_{\text{relativa}}(t) , dt$$

Sostituendo $a_{\text{relativa}}(t)$: $$v_{\text{relativa}}(t) = g \int_{t_0}^{t_{\text{distacco}}} \frac{F_{\text{pedana}}(t) - F_{\text{statico}}}{F_{\text{statico}}} , dt$$

3. Velocità iniziale dell'atleta

$$v_{\text{iniziale}} = v_{\text{relativa}}(t_{\text{distacco}})$$

Quindi: $$v_{\text{iniziale}} = g \int_{t_0}^{t_{\text{distacco}}} \frac{F_{\text{pedana}}(t) - F_{\text{statico}}}{F_{\text{statico}}} , dt$$

Considerazioni

1. Peso assoluto non necessario:

   • Calcolo basato solo su valori relativi rispetto a $F_{\text{statico}}$

2. Velocità condivisa:

   • Atleta e pedana hanno stessa velocità durante il contatto

3. Importanza del distacco:

   • Calcolo valido fino al momento $t_{\text{distacco}}$

Integrale Discreto per il Calcolo della Velocità

Formula Continua

$$v_{\text{iniziale}} = g \int_{t_0}^{t_{\text{distacco}}} \frac{F_{\text{pedana}}(t) - F_{\text{statico}}}{F_{\text{statico}}} , dt$$

Versione Discreta

$$v_{\text{iniziale}} = g \sum_{n=0}^{N-1} \frac{F_{\text{pedana}}[n] - F_{\text{statico}}}{F_{\text{statico}}} \cdot \Delta t$$

Dove:

• $F_{\text{pedana}}[n]$: Forza campionata al tempo $t_n$
• $F_{\text{statico}}$: Forza statica pre-salto
• $\Delta t$: Intervallo di campionamento
• $N$: Numero totale di campioni da $t_0$ a $t_{\text{distacco}}$

Esempio in python:

# Dati
F_statico = 700  # Peso statico dell'atleta in N
g = 9.81         # Accelerazione di gravità in m/s^2
delta_t = 0.01   # Intervallo di campionamento in secondi
F_pedana = [700, 750, 800, 850, 900, 1000, 1200, 1400]  # Forza misurata (esempio)
N = len(F_pedana)  # Numero di campioni

# Calcolo velocità iniziale
v_iniziale = 0
for n in range(N):
    relativa = (F_pedana[n] - F_statico) / F_statico
    v_iniziale += relativa * delta_t

# Moltiplicazione per g per ottenere velocità iniziale in m/s
v_iniziale *= g

# Risultato
print("Velocità iniziale:", v_iniziale, "m/s")

Calcolo della Velocità di Caduta

Formula nel Dominio Continuo

L'accelerazione relativa: $$a_{\text{relativa}}(t) = \frac{F_{\text{pedana}}(t) - F_{\text{statico}}}{F_{\text{statico}}} \cdot g$$

Velocità di caduta: $$v_{\text{caduta}} = g \int_{t_{\text{impatto}}}^{t_{\text{stabilizzato}}} \frac{F_{\text{pedana}}(t) - F_{\text{statico}}}{F_{\text{statico}}} , dt$$

Formula nel Dominio Discreto

$$v_{\text{caduta}} = g \cdot \Delta t \cdot \sum_{n=M}^{N-1} \frac{F_{\text{pedana}}[n] - F_{\text{statico}}}{F_{\text{statico}}}$$

Dove:

• $M$: Primo campione dopo il contatto
• $N$: Campione finale (accelerazione zero)
• $F_{\text{pedana}}[n]$: Forza misurata al campione $n$
• $\Delta t$: Intervallo di campionamento

Ecco un codice Python per calcolare la velocità di caduta utilizzando i dati della forza misurata dalla pedana durante l'atterraggio.

# Parametri e dati iniziali
g = 9.81  # Accelerazione di gravità (m/s^2)
F_statico = 700  # Peso statico dell'atleta in Newton (esempio)
delta_t = 0.01  # Intervallo di campionamento (secondi)

# Forza misurata dalla pedana durante l'atterraggio (esempio)
F_pedana = [700, 900, 1200, 1500, 1200, 900, 700]

# Calcolo della velocità di caduta
def calcola_velocita_caduta(F_pedana, F_statico, delta_t, g):
    v_caduta = 0  # Velocità iniziale
    inizio_impulso = False
    
    for F in F_pedana:
        # Individua l'inizio del contatto (quando F > F_statico)
        if F > F_statico:
            inizio_impulso = True
        
        # Calcola solo dopo il contatto
        if inizio_impulso:
            relativa = (F - F_statico) / F_statico  # Accelerazione relativa
            v_caduta += g * relativa * delta_t  # Somma discreta
    
    return v_caduta

# Calcolo della velocità di caduta
v_caduta = calcola_velocita_caduta(F_pedana, F_statico, delta_t, g)

# Risultato
print(f"Velocità di caduta: {v_caduta:.2f} m/s")

Calcolo dell'Altezza dal Salto

Formula dell'Altezza

$$h = \frac{v_{\text{iniziale}}^2}{2g}$$

Dove:

• $v_{\text{iniziale}}$: Velocità verticale iniziale
• $g = 9.81 , \text{m/s}^2$: Accelerazione di gravità

Derivazione dalla Conservazione dell'Energia

1. Energia cinetica iniziale: $$E_{\text{cinetica}} = \frac{1}{2} m v_{\text{iniziale}}^2$$

2. Energia potenziale al punto massimo: $$E_{\text{potenziale}} = m g h$$

Uguagliando le energie: $$\frac{1}{2} m v_{\text{iniziale}}^2 = m g h$$

Risolvendo per $h$: $$h = \frac{v_{\text{iniziale}}^2}{2g}$$

Conclusione: Metodo di Calcolo Indipendente

Calcolo della Velocità Iniziale

La pedana opera in modo autonomo attraverso:

1. Misurazione peso statico

   • Acquisizione diretta con atleta fermo

2. Analisi differenze relative

   • Rapporto tra forza dinamica e statica

3. Integrazione accelerazione relativa

   • Calcolo velocità iniziale

Vantaggi

Il metodo è:

• Indipendente dal peso assoluto
• Autonomo nei calcoli
• Versatile nell'utilizzo

Non richiede parametri esterni come peso o massa dell'atleta.

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