Skip to content

Latest commit

 

History

History
128 lines (90 loc) · 3.28 KB

kalman.md

File metadata and controls

128 lines (90 loc) · 3.28 KB

Torna all'indice>Torna a filtri

Filtro di Kalman: Dal Concetto alla Teoria

Livello 1: L'Idea Base

Il concetto fondamentale riguarda la stima della posizione di un oggetto in movimento, dove:

  • Le misure dei sensori contengono rumore
  • Si ha un modello approssimato del movimento
  • È necessario combinare le informazioni in modo ottimale

Il Ruolo del Filtro

Il filtro di Kalman agisce come un arbitro che:

  1. Effettua una predizione della posizione
  2. Confronta la predizione con le misure
  3. Valuta l'affidabilità delle diverse fonti
  4. Produce una stima ottimizzata

Livello 2: Meccanismo di Funzionamento

Ciclo Base

  1. Fase di Predizione

    • Utilizza il modello del sistema per la predizione dello stato
    • Incrementa l'incertezza associata alla predizione

  2. Fase di Correzione

    • Confronta predizione e misura
    • Valuta l'affidabilità delle fonti
    • Aggiorna la stima corrente

Parametri Fondamentali

  • Q: affidabilità del modello
  • R: affidabilità delle misure
  • K: peso della correzione
  • P: incertezza della stima

Livello 3: Fondamenti Matematici

Equazioni di Predizione

x̂ₖ|ₖ₋₁ = Fₖx̂ₖ₋₁|ₖ₋₁
Pₖ|ₖ₋₁ = FₖPₖ₋₁|ₖ₋₁Fₖᵀ + Qₖ

Equazioni di Correzione

Kₖ = Pₖ|ₖ₋₁Hₖᵀ(HₖPₖ|ₖ₋₁Hₖᵀ + Rₖ)⁻¹
x̂ₖ|ₖ = x̂ₖ|ₖ₋₁ + Kₖ(zₖ - Hₖx̂ₖ|ₖ₋₁)
Pₖ|ₖ = (I - KₖHₖ)Pₖ|ₖ₋₁

Livello 4: Approfondimento Teorico

Ipotesi di Base

  1. Sistema lineare:
xₖ = Fₖxₖ₋₁ + wₖ₋₁
zₖ = Hₖxₖ + vₖ
  1. Rumori gaussiani:
w ~ N(0,Q)
v ~ N(0,R)

Proprietà di Ottimalità

Il filtro di Kalman è caratterizzato da:

  1. Assenza di bias: E[x̂ₖ - xₖ] = 0
  2. Minimizzazione della traccia di P
  3. Ottimalità MMSE per rumori gaussiani

Livello 5: Considerazioni Avanzate

Gestione Non Linearità

Per sistemi non lineari sono disponibili varianti:

  • EKF: basato su linearizzazione locale
  • UKF: utilizza trasformazione unscented
  • Particle Filter: approccio Monte Carlo

Analisi di Stabilità

La convergenza dipende da:

  1. Osservabilità del sistema
  2. Controllabilità del sistema
  3. Inizializzazione corretta di P

Aspetti Implementativi

Punti critici:

  1. Mantenimento della simmetria di P
  2. Garanzia della positività definita
  3. Gestione del condizionamento numerico

Guida ai Livelli di Comprensione

  • Livello 1: Comprensione intuitiva
  • Livello 2: Capacità implementativa
  • Livello 3: Competenze di ottimizzazione
  • Livello 4: Comprensione dei limiti
  • Livello 5: Capacità di estensione

Sitografia:

Torna all'indice>Torna a filtri